Exercício 18. Verifique que, se T: R^d longrightarrow R^d é uma aplicação diagonalizável com autovalores reais lambda1, lambda2, ldots, lambdad in R, não necessariamente distintos, e com base de autovetores associada B= v1, v2, ldots, vd, então podemos escrever
T=sumi=1^d lambdai vi otimes vi

Passo 1

O enunciado diz que T:R^dtoR^d é diagonalizável com autovalores reais lambda1,dots,lambdad e base de autovetores B=v1,dots,vd. Queremos mostrar que, como operadores em R^d, vale
T ;=;sumi=1^d lambdai,viotimes vi
Aqui usamos a noção de produto tensorial votimes w como sendo o operador
(votimes w)(x)=w(x),v,
onde w é uma forma linear.

Passo 2

Construa a base dual v1^*,dots,vd^* de B por
vi^*(vj)=de<aij
Então, para todo vetor xinR^d, podemos escrevê-lo na base B como
x ;=;sumi=1^d vi^*(x),vi

Passo 3

Aplicando T a x e usando T(vi)=lambdai vi, obtemos
T(x) =;Tl(sumi=1^d vi^*(x),vir) =sumi=1^d vi^*(x),T(vi) =sumi=1^d vi^*(x),lambdai,vi =sumi=1^d lambdai,vi^*(x),vi

Passo 4

Agora aplicamos o operador
S=sumi=1^dlambdai,viotimes vi
ao mesmo x. Pela definição de viotimes vi,
S(x) =sumi=1^d lambdai,(viotimes vi)(x) =sumi=1^d lambdai,vi^*(x),vi

Passo 5

Como, para todo x, temos
T(x)=sumi=1^d lambdai,vi^*(x),vi e S(x)=sumi=1^d lambdai,vi^*(x),vi,
segue que T e S coincidem em qualquer vetor de R^d. Logo, como aplicações lineares, são iguais.

Resposta

T ;=;sumi=1^d lambdai,viotimes vi

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