Exercício 18. Verifique que, se
é uma aplicação diagonalizável com autovalores reais
, não necessariamente distintos, e com base de autovetores associada
, então podemos escrever
Passo 1
O enunciado diz que
é diagonalizável com autovalores reais
e base de autovetores
. Queremos mostrar que, como operadores em
, vale
Aqui usamos a noção de produto tensorial
como sendo o operador
onde
é uma forma linear.
Passo 2
Construa a base dual
de
por
Então, para todo vetor
, podemos escrevê-lo na base
como
Passo 3
Aplicando
a
e usando
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos o operador
ao mesmo . Pela definição de
,
ao mesmo
Passo 5
Como, para todo
, temos
segue que
e
coincidem em qualquer vetor de
. Logo, como aplicações lineares, são iguais.