Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 abaixo são isomorfismos, em caso afirmativo encontre o isomorfismo inverso.
T(x, y, z)=(x+y, x-y, x+y+z).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
Tcolon R^3toR^3 dado por
T(x,y,z) = (x+y,;x-y,;x+y+z)
é um isomorfismo e, em caso afirmativo, encontrar T^-1.
Para isso, vamos usar representação matricial na base canônica, calcular o determinante para testar invertibilidade e, depois, resolver o sistema para obter a fórmula de T^-1.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, as colunas da matriz de T são T(ei).
Temos
T(1,0,0) = (1,1,1), T(0,1,0) = (1,-1,1), T(0,0,1) = (0,0,1),
logo a matriz é
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det A = 1cdotdet-1&01&1 -1cdotdet1&01&1 +0 = 1cdot(-1)-1cdot(1) = -2
Como det A = -2 neq 0, A é invertível, logo T é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar
Somando as duas primeiras equações dá , então
E da terceira equação

Passo 5

Portanto o inverso é
T^-1(u,v,w) = l(tfracu+v2,,tfracu-v2,,w-ur)

Resposta

T é um isomorfismo e
T^-1(u,v,w) = l(tfracu+v2,,tfracu-v2,,w-ur)

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