Verifique se os operadores lineares abaixo são isomorfismos, em caso afirmativo encontre o isomorfismo inverso. .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear dado por
é um isomorfismo e, em caso afirmativo, encontrar .
Para isso, vamos usar representação matricial na base canônica, calcular o determinante para testar invertibilidade e, depois, resolver o sistema para obter a fórmula de .
Passo 2
Na base canônica , as colunas da matriz de são .
Temos
logo a matriz é
Passo 3
Calculamos o determinante de A:
det A = 1cdotdet-1&01&1 -1cdotdet1&01&1 +0 = 1cdot(-1)-1cdot(1) = -2
Como det A = -2 neq 0, A é invertível, logo T é um isomorfismo.