Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o limite
. - Desenhar (identificar) as assíntotas verticais, quando existirem.
Informações que o enunciado dá:
- A função considerada é
. - Note que a expressão envolve divisão por
; portanto não pertence ao domínio da função (a função não está definida em ).
Passo 2
Simplificar a expressão para entender melhor o comportamento quando
se aproxima de
.
Para
,
Isso facilita a análise: a função é a soma de
(que tende a
quando
) e de
(que tem comportamento infinito perto de
).
Passo 3
Lembrando definições importantes (aulas rápidas):
- Dizemos que
se os valores de crescem sem limite positivo quando se aproxima de . Analogamente para . - A limite bilateral
existe e é finito somente se as duas limites laterais existem e são iguais: - Uma reta vertical
é assíntota vertical da curva quando pelo menos uma das limites ou é igual a ou .
Passo 4
Calcular a limite pela direita (
). Usando
:
- Quando
, tem-se e . - Soma de algo que vai a
com algo que vai a resulta em .
Portanto
Passo 5
Calcular a limite pela esquerda (
). Ainda com
:
- Quando
, tem-se e . - Soma de algo que vai a
com algo que vai a resulta em .
Portanto
Passo 6
Concluir sobre o limite bilateral e sobre a assíntota vertical:
- As duas limites laterais são diferentes (uma é
e a outra é ), logo a limite bilateral não existe como número finito. Em termos formais, não existe; as limites laterais são infinitas com sinais opostos. - Como pelo menos uma das limites laterais é infinita (na verdade ambas são infinitas, com sinais opostos), a reta vertical
é uma assíntota vertical da curva . - Não há outras assíntotas verticais, porque o único ponto onde o denominador se anula (e portanto onde a função pode ter comportamento vertical) é
.
Passo 7
Como desenhar a assíntota vertical (instrução prática rápida):
- Traçar a reta vertical
(o eixo ). - Para
pequeno, sobe para ao aproximar-se de (a curva vai para cima à direita da assíntota). - Para
pequeno, desce para ao aproximar-se de (a curva vai para baixo à esquerda da assíntota).
Isso já dá a ideia do comportamento perto da assíntota vertical.
Resposta
O limite bilateral não existe;
e
.
Assíntota vertical: .
Assíntota vertical: