Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+1}{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o limite \lim_{x\to 0} \dfrac{x^{2}+1}{x}.
  • Desenhar (identificar) as assíntotas verticais, quando existirem.
Informações que o enunciado dá:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}.
  • Note que a expressão envolve divisão por x; portanto x=0 não pertence ao domínio da função (a função não está definida em x=0).

Passo 2

Simplificar a expressão para entender melhor o comportamento quando x se aproxima de 0.
Para x\neq 0,
\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Isso facilita a análise: a função é a soma de x (que tende a 0 quando x\to0) e de \dfrac{1}{x} (que tem comportamento infinito perto de 0).

Passo 3

Lembrando definições importantes (aulas rápidas):
  • Dizemos que \lim_{x\to a} f(x)=+\infty se os valores de f(x) crescem sem limite positivo quando x se aproxima de a. Analogamente para -\infty.
  • A limite bilateral \lim_{x\to a} f(x) existe e é finito somente se as duas limites laterais existem e são iguais: \lim_{x\to a} f(x)\\ \text{existe} \iff \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)\\ \text{e ambos são finitos}.ã
  • Uma reta vertical x=a é assíntota vertical da curva y=f(x) quando pelo menos uma das limites \lim_{x\to a^-} f(x) ou \lim_{x\to a^+} f(x) é igual a +\infty ou -\infty.

Passo 4

Calcular a limite pela direita ( x\to 0^+). Usando f(x)=x+\dfrac{1}{x}:
  • Quando x\to 0^+, tem-se x\to 0 e \dfrac{1}{x}\to +\infty.
  • Soma de algo que vai a 0 com algo que vai a +\infty resulta em +\infty.
    Portanto
\lim_{x\to 0^+}\frac{x^{2}+1}{x}=+\infty.

Passo 5

Calcular a limite pela esquerda ( x\to 0^-). Ainda com f(x)=x+\dfrac{1}{x}:
  • Quando x\to 0^-, tem-se x\to 0 e \dfrac{1}{x}\to -\infty.
  • Soma de algo que vai a 0 com algo que vai a -\infty resulta em -\infty.
    Portanto
\lim_{x\to 0^-}\frac{x^{2}+1}{x}=-\infty.

Passo 6

Concluir sobre o limite bilateral e sobre a assíntota vertical:
  • As duas limites laterais são diferentes (uma é +\infty e a outra é -\infty), logo a limite bilateral não existe como número finito. Em termos formais, \lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+1}{x} não existe; as limites laterais são infinitas com sinais opostos.
  • Como pelo menos uma das limites laterais é infinita (na verdade ambas são infinitas, com sinais opostos), a reta vertical x=0 é uma assíntota vertical da curva y=\dfrac{x^{2}+1}{x}.
  • Não há outras assíntotas verticais, porque o único ponto onde o denominador se anula (e portanto onde a função pode ter comportamento vertical) é x=0.

Passo 7

Como desenhar a assíntota vertical (instrução prática rápida):
  • Traçar a reta vertical x=0 (o eixo y).
  • Para x>0 pequeno, f(x) sobe para +\infty ao aproximar-se de 0 (a curva vai para cima à direita da assíntota).
  • Para x<0 pequeno, f(x) desce para -\infty ao aproximar-se de 0 (a curva vai para baixo à esquerda da assíntota).
    Isso já dá a ideia do comportamento perto da assíntota vertical.

Resposta

O limite bilateral não existe; \lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^{2}+1}{x}=+\infty e \lim_{x\to 0^-}\dfrac{x^{2}+1}{x}=-\infty.
Assíntota vertical: x=0.

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