Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{x^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{x}{x^{3}}.
  • Indicar e “desenhar” as assíntotas verticais, quando existirem (aqui basta identificar quais são).
Informações dadas:
  • A expressão é \displaystyle \frac{x}{x^{3}}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Observação óbvia: a função não está definida em x=0 porque x^{3}=0 aí.

Passo 2

Simplificar a expressão sempre que possível (isso ajuda muito em provas).
\frac{x}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}\quad\text{para }x\neq 0.
Explicação: dividir potências de mesma base subtrai expoentes: x/x^{3}=x^{1-3}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Calcular o limite pela direita ( x\to 0^{+}). Quando x>0 pequeno, x^{2} é um número positivo muito pequeno, então \dfrac{1}{x^{2}} é um número muito grande e positivo. Formalmente:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
A ideia: dividir 1 por um quadrado que vai a zero produz um crescimento sem limite para +\infty.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda ( x\to 0^{-}). Quando x<0 pequeno, x^{2} também é positivo (porque o quadrado de um número negativo é positivo), e muito pequeno; portanto \dfrac{1}{x^{2}} também fica muito grande e positivo. Formalmente:
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.

Passo 5

Concluir o limite principal. Como os limites laterais existem e são iguais:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty,
diz-se que \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty. Em linguagem de provas: o limite diverge para +\infty.

Passo 6

Relacionar isso com assíntota vertical. Definição prática: se em x=a a função tende a +\infty ou -\infty quando x se aproxima de a pela direita ou pela esquerda, então a reta x=a é uma assíntota vertical do gráfico.
Aqui, como ambos os lados tendem a +\infty quando x\to 0, a reta
x=0
é uma assíntota vertical. Descrição do comportamento do gráfico próximo a zero: à esquerda e à direita de 0 a curva sobe sem limite (ficando positive), formando uma “parede” vertical em x=0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^{3}}=+\infty
Assíntota vertical: x=0

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