Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o limite
. - Indicar e “desenhar” as assíntotas verticais, quando existirem (aqui basta identificar quais são).
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Observação óbvia: a função não está definida em
porque aí.
Passo 2
Simplificar a expressão sempre que possível (isso ajuda muito em provas).
Explicação: dividir potências de mesma base subtrai expoentes:
.
Passo 3
Calcular o limite pela direita (
). Quando
pequeno,
é um número positivo muito pequeno, então
é um número muito grande e positivo. Formalmente:
A ideia: dividir 1 por um quadrado que vai a zero produz um crescimento sem limite para
.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda (
). Quando
pequeno,
também é positivo (porque o quadrado de um número negativo é positivo), e muito pequeno; portanto
também fica muito grande e positivo. Formalmente:
Passo 5
Concluir o limite principal. Como os limites laterais existem e são iguais:
diz-se que
. Em linguagem de provas: o limite diverge para
.
Passo 6
Relacionar isso com assíntota vertical. Definição prática: se em
a função tende a
ou
quando
se aproxima de
pela direita ou pela esquerda, então a reta
é uma assíntota vertical do gráfico.
Aqui, como ambos os lados tendem a
quando
, a reta
é uma assíntota vertical. Descrição do comportamento do gráfico próximo a zero: à esquerda e à direita de
a curva sobe sem limite (ficando positive), formando uma “parede” vertical em
.
Resposta
Assíntota vertical: