Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{5}{(x-2)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x-2)^{4}}.
  • Determinar e desenhar (ou indicar) as assíntotas verticais, quando existirem.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{5}{(x-2)^{4}}.
  • A expressão não está definida em x=2 (pois o denominador fica zero).
  • Queremos o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 2 pela direita e pela esquerda, e a conclusão para o limite e as assíntotas verticais.

Passo 2

Entendendo o denominador: escrevendo h=x-2, ao aproximar x de 2 temos h\to 0. O denominador é (x-2)^{4}=h^{4}. Algumas observações sobre h^{4}:
  • Para qualquer h\neq 0, h^{4}>0 (potência par elimina o sinal).
  • Quando h\to 0, temos h^{4}\to 0, isto é, o denominador tende a 0 por valores positivos.
Explicando por que isso importa: se uma função tem forma \dfrac{C}{g(x)} com C>0 constante e g(x)\to 0^{+} (tende a zero por valores positivos), então \dfrac{C}{g(x)}\to +\infty. Aqui C=5>0 e g(x)=(x-2)^{4}\to 0^{+} quando x\to 2.

Passo 3

Calcular os limites laterais para ficar bem claro:
  • Aproximação pela direita: para x\to 2^{+} temos x-2>0, logo (x-2)^{4}>0 e (x-2)^{4}\to 0^{+}. Portanto
\lim_{x\to 2^{+}}\frac{5}{(x-2)^{4}}=+\infty.
  • Aproximação pela esquerda: para x\to 2^{-} temos x-2<0, mas como o expoente é 4 (par) vale (x-2)^{4}>0 também, e novamente (x-2)^{4}\to 0^{+}. Portanto
\lim_{x\to 2^{-}}\frac{5}{(x-2)^{4}}=+\infty.
Como os dois limites laterais são +\infty, o limite bilateral também diverge para +\infty:
\lim_{x\to 2}\frac{5}{(x-2)^{4}}=+\infty.

Passo 4

Definição e conclusão sobre assíntota vertical: uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^{\pm}} f(x) é +\infty ou -\infty. Aqui ambos os limites laterais em x=2 são +\infty, portanto existe uma assíntota vertical em x=2.
Comentário sobre o desenho (como rascunhar na prova): trace a reta vertical x=2. Para x muito próximos de 2 (à esquerda e à direita) a curva sobe para +\infty — ou seja, a função tem um “pico” que vai para cima em ambos os lados de x=2. Para x afastando-se de 2 a função decai rapidamente (sempre positiva), mas o essencial para a assíntota é o comportamento perto de 2.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{5}{(x-2)^{4}}=+\infty
Assíntota vertical: x=2

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