Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o limite
. - Determinar e desenhar (ou indicar) as assíntotas verticais, quando existirem.
Informações dadas:
- A função é
. - A expressão não está definida em
(pois o denominador fica zero). - Queremos o comportamento de
quando se aproxima de pela direita e pela esquerda, e a conclusão para o limite e as assíntotas verticais.
Passo 2
Entendendo o denominador: escrevendo
, ao aproximar
de
temos
. O denominador é
. Algumas observações sobre
:
- Para qualquer
, (potência par elimina o sinal). - Quando
, temos , isto é, o denominador tende a por valores positivos.
Explicando por que isso importa: se uma função tem forma
com
constante e
(tende a zero por valores positivos), então
. Aqui
e
quando
.
Passo 3
Calcular os limites laterais para ficar bem claro:
- Aproximação pela direita: para
temos , logo e . Portanto
- Aproximação pela esquerda: para
temos , mas como o expoente é (par) vale também, e novamente . Portanto
Como os dois limites laterais são
, o limite bilateral também diverge para
:
Passo 4
Definição e conclusão sobre assíntota vertical: uma reta vertical
é assíntota vertical de
se pelo menos uma das limites laterais
é
ou
. Aqui ambos os limites laterais em
são
, portanto existe uma assíntota vertical em
.
Comentário sobre o desenho (como rascunhar na prova): trace a reta vertical
. Para
muito próximos de
(à esquerda e à direita) a curva sobe para
— ou seja, a função tem um “pico” que vai para cima em ambos os lados de
. Para
afastando-se de
a função decai rapidamente (sempre positiva), mas o essencial para a assíntota é o comportamento perto de
.
Resposta
Assíntota vertical: