Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}.
  • Desenhar (indicar) as assíntotas verticais, se existirem.
As informações dadas são a expressão racional \displaystyle \frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}. Não há valores numéricos adicionais; o ponto crítico para análise é x=1 (denominador zero em x=1).

Passo 2

Primeira ideia: tentar simplificar a expressão, fatorando o numerador. Existe uma identidade muito útil: a diferença de cubos
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=1 obtemos
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Essa fatoração é padrão e serve para cancelar um fator x-1 quando possível.

Passo 3

Substituindo a fatoração na função, para x\neq1 (pois no denominador não podemos ter x=1):
\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}} =\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)^{2}} =\frac{x^{2}+x+1}{x-1},\qquad x\neq1.
Então, para estudar o comportamento quando x\to1 podemos trabalhar com a função simplificada \displaystyle \frac{x^{2}+x+1}{x-1} (lembrando que no ponto x=1 a função original não está definida).

Passo 4

Para entender o limite quando x\to1 convém analisar os limites laterais. Observe o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x\to1:
  • O numerador tende para
x^{2}+x+1 \to 1^{2}+1+1=3,
ou seja, o numerador fica próximo de 3, que é positivo.
  • O denominador x-1 tende para 0, e seu sinal depende do lado:
    • se x\to1^{-} então x-1<0 (denominador negativo e muito pequeno em módulo);
    • se x\to1^{+} então x-1>0 (denominador positivo e muito pequeno em módulo).

Passo 5

Usando essa ideia de comportamento:
  • Para x\to1^{-}: o numerador \approx 3>0 e o denominador \to0^{-}, portanto a fração tende para -\infty. Em notação:
\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}} =\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=-\infty.
  • Para x\to1^{+}: o numerador \approx 3>0 e o denominador \to0^{+}, portanto a fração tende para +\infty. Em notação:
\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}} =\lim_{x\to1^{+}}\frac{x^{2}+x+1}{x-1}=+\infty.

Passo 6

Como os limites laterais são distintos (um é -\infty e o outro é +\infty), o limite bilateral não existe como número finito nem como \pm\infty único. Logo
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}
não existe.

Passo 7

Definição prática de assíntota vertical: se \displaystyle \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty ou \displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty, então x=a é uma assíntota vertical da curva y=f(x). Aqui, como as duas limitações laterais em x=1 divergem (em sinais opostos), conclui-se que há uma assíntota vertical em
x=1.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{(x-1)^{2}} não existe
Assíntota vertical: x=1

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