Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o limite
. - Desenhar (indicar) as assíntotas verticais, se existirem.
As informações dadas são a expressão racional
. Não há valores numéricos adicionais; o ponto crítico para análise é
(denominador zero em
).
Passo 2
Primeira ideia: tentar simplificar a expressão, fatorando o numerador. Existe uma identidade muito útil: a diferença de cubos
Aplicando com
e
obtemos
Essa fatoração é padrão e serve para cancelar um fator
quando possível.
Passo 3
Substituindo a fatoração na função, para
(pois no denominador não podemos ter
):
Então, para estudar o comportamento quando
podemos trabalhar com a função simplificada
(lembrando que no ponto
a função original não está definida).
Passo 4
Para entender o limite quando
convém analisar os limites laterais. Observe o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
:
- O numerador tende para
ou seja, o numerador fica próximo de
, que é positivo.
- O denominador
tende para , e seu sinal depende do lado: - se
então (denominador negativo e muito pequeno em módulo); - se
então (denominador positivo e muito pequeno em módulo).
- se
Passo 5
Usando essa ideia de comportamento:
- Para
: o numerador e o denominador , portanto a fração tende para . Em notação:
- Para
: o numerador e o denominador , portanto a fração tende para . Em notação:
Passo 6
Como os limites laterais são distintos (um é
e o outro é
), o limite bilateral não existe como número finito nem como
único. Logo
não existe.
Passo 7
Definição prática de assíntota vertical: se
ou
, então
é uma assíntota vertical da curva
. Aqui, como as duas limitações laterais em
divergem (em sinais opostos), conclui-se que há uma assíntota vertical em
Resposta
Assíntota vertical: