Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular
. - Identificar e desenhar as assíntotas verticais, quando existirem.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função considerada é
. - O domínio de
é (ou seja, todos os reais exceto ). - Precisamos analisar o comportamento de
quando se aproxima de pela direita e pela esquerda.
Passo 2
Intuição e análise simples do sinal e da magnitude: para todo
vale
. Logo
para todo
. Ao nos aproximarmos de
, o quadrado
fica cada vez menor (tende a
), e dividir
por um número cada vez menor e positivo faz o quociente crescer sem limites. Isso sugere que a função “explode” para
quando
, tanto pela direita quanto pela esquerda.
Passo 3
Prova formal do crescimento sem limite (definição de limite infinito): queremos mostrar que para qualquer
existe
tal que, sempre que
, então
.
Seja um
qualquer. Tome
Se
então
Isso mostra que
pode ser tornada maior que qualquer
escolhida, simplesmente aproximando
de
. Portanto
e, mais especificamente,
Passo 4
Definição e identificação da assíntota vertical: uma reta vertical
é assíntota vertical de
se pelo menos uma das limites laterais
ou
for
ou
. Como acabamos de ver, em
ambos os limites laterais são
. Logo a reta
é uma assíntota vertical da função
.
Passo 5
Comentário gráfico rápido e encorajador: o gráfico de
é simétrico em relação ao eixo
, vai para
ao se aproximar de
(por ambos os lados) e tende a
quando
. Na prova, basta lembrar que dividir por um número próximo de zero (mas positivo, por causa do quadrado) dá um resultado muito grande — isso é a ideia central.
Resposta
Assíntota vertical: