Exercício 183. Calcule o limite e desenhe as assintotas verticais, quando existem.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}.
  • Identificar e desenhar as assíntotas verticais, quando existirem.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • O domínio de f é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\} (ou seja, todos os reais exceto 0).
  • Precisamos analisar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 0 pela direita e pela esquerda.

Passo 2

Intuição e análise simples do sinal e da magnitude: para todo x\neq 0 vale \,x^{2}>0. Logo \dfrac{1}{x^{2}}>0 para todo x\neq 0. Ao nos aproximarmos de 0, o quadrado x^{2} fica cada vez menor (tende a 0), e dividir 1 por um número cada vez menor e positivo faz o quociente crescer sem limites. Isso sugere que a função “explode” para +\infty quando x\to 0, tanto pela direita quanto pela esquerda.

Passo 3

Prova formal do crescimento sem limite (definição de limite infinito): queremos mostrar que para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x|<\delta, então \dfrac{1}{x^{2}}>M.
Seja um M>0 qualquer. Tome
\delta=\frac{1}{\sqrt{M}}.
Se 0<|x|<\delta então
x^{2}<\delta^{2}=\frac{1}{M}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x^{2}}>M.
Isso mostra que \dfrac{1}{x^{2}} pode ser tornada maior que qualquer M escolhida, simplesmente aproximando x de 0. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty,
e, mais especificamente,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.

Passo 4

Definição e identificação da assíntota vertical: uma reta vertical x=a é assíntota vertical de f se pelo menos uma das limites laterais \lim_{x\to a^{+}}f(x) ou \lim_{x\to a^{-}}f(x) for +\infty ou -\infty. Como acabamos de ver, em a=0 ambos os limites laterais são +\infty. Logo a reta
x=0
é uma assíntota vertical da função f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Comentário gráfico rápido e encorajador: o gráfico de f(x)=\dfrac{1}{x^{2}} é simétrico em relação ao eixo y, vai para +\infty ao se aproximar de x=0 (por ambos os lados) e tende a 0 quando x\to\pm\infty. Na prova, basta lembrar que dividir por um número próximo de zero (mas positivo, por causa do quadrado) dá um resultado muito grande — isso é a ideia central.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty
Assíntota vertical: \,x=0

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