Exercício 190. Oitenta artefatos foram classificados de acordo com o período da provável confecção (A, B e C) e de acordo com o sítio arqueológico (Sítio 1 e 2) em que foram encontrados. Os resultados encontrados foram:
Sítio 1: A B B B C C B A B C C B A A A B B B C C A A A A A B B B A C C B B B A A A A
Sítio 2: C C C C A A B B C C A A B C C C C C B B A B A C B C B C C C C B A B C B C C C C B C
Os oitenta artefatos encontrados sugerem que há associação entre o período de confecção e o sítio arqueológico? Responda através de Teste Qui-quadrado com o nível de significância de 10 \%.

Passo 1

O enunciado mostra que há 80 artefatos classificados por período de confecção (A, B, C) e sítio arqueológico (Sítio 1 e Sítio 2). Ele pede para verificar se existe associação entre período e sítio, usando o teste de independência do qui-quadrado com nível de significância de 10\%. Para isso, vamos organizar uma tabela de contingência, calcular as frequências esperadas sob independência, montar a estatística \chi^2 e compará-la com o valor crítico.

Passo 2

Montamos a tabela de frequências observadas contando os artefatos de cada período em cada sítio:
\begin{array}{c|cc|c} \text{Período} & \text{Sítio 1} & \text{Sítio 2} & \text{Total}\\hline A & 15 & 7 & 22\\\ B & 15 & 12 & 27\\\ C & 8 & 23 & 31\\hline \text{Total} & 38 & 42 & 80 \end{array}ííí
Sob a hipótese nula de independência, o valor esperado em cada célula é
E_{ij}=\frac{(\text{total da linha }i)\times(\text{total da coluna }j)}{80}.
Isso dá:
\begin{array}{c|cc} & E_{\text{S1}} & E_{\text{S2}}\\hline A & \frac{22\cdot 38}{80}=10,45 & \frac{22\cdot 42}{80}=11,55\\\ B & \frac{27\cdot 38}{80}=12,83 & \frac{27\cdot 42}{80}=14,17\\\ C & \frac{31\cdot 38}{80}=14,73 & \frac{31\cdot 42}{80}=16,27 \end{array}

Passo 3

A estatística de teste é
\chi^2=\sum_{\text{todas as células}}\frac{(O-E)^2}{E}.é
Calculando termo a termo e somando, obtemos
\chi^2\approx 1,98+0,37+3,07+1,79+0,33+2,78=10,32.
O número de graus de liberdade é
(r-1)(c-1)=(3-1)(2-1)=2.
Para \alpha=0,10 e 2 graus de liberdade, o valor crítico é
\chi^2_{0,90;\,2}=4,605.

Passo 4

Como \chi^2=10,32>4,605, rejeitamos H_0 ao nível de 10\%. Concluímos que há indicação de associação entre período de confecção e sítio arqueológico.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há associação entre período e sítio.

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