Sejam
a base canônica do
e
o operador linear sobre o
satisfazendo
. Existe uma base
beta do
R^2 , tal que
[T]beta^alpha=[ll1 & 1 0 & 1] ?
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
TcolonR^2toR^2 cuja matriz na base canônica
alpha é
e pergunta se existe uma base
beta de
R^2 tal que
Sejam
P a matriz cujas colunas são as coordenadas, em
alpha , dos vetores de
beta . Então
pois a coluna
i de
A,P é
A vezes a coluna
i de
P , ou seja
T aplicado ao
i -ésimo vetor de
beta . Logo precisamos resolver
com
P invertível.
Passo 2
Calculemos
A^-1 . O determinante de
A é
logo
Assim
Passo 3
Verifiquemos que
P é invertível:
Logo as colunas de
P formam uma base
beta . Explicitamente, podemos tomar
e então de fato
A cdot P = B , i.e.
[T]beta^alpha = B .
Resposta
Sim. Por exemplo, a base
satisfaz
[T]beta^alpha = 1 & 10 & 1 .