Sejam alpha a base canônica do R^2 e T o operador linear sobre o R^2 satisfazendo [T]alpha^alpha=[rr1 & 3 -1 & 5]. Existe uma base beta do R^2, tal que [T]beta^alpha=[ll1 & 1 0 & 1] ?

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^2toR^2 cuja matriz na base canônica alpha é
A = [T]alpha^alpha = 1 & 3 -1 & 5
e pergunta se existe uma base beta de R^2 tal que
[T]beta^alpha = 1 & 1 0 & 1 =: B
Sejam P a matriz cujas colunas são as coordenadas, em alpha, dos vetores de beta. Então
[T]beta^alpha ;=; A,P,
pois a coluna i de A,P é A vezes a coluna i de P, ou seja T aplicado ao i-ésimo vetor de beta. Logo precisamos resolver
A,P = B
com P invertível.

Passo 2

Calculemos A^-1. O determinante de A é
det A = 1 cdot 5 - 3 cdot (-1) = 5 + 3 = 8,
logo
A^-1 = 185 & -3 1 & 1
Assim
P = A^-1B = 185 & -3 1 & 1 1 & 1 0 & 1 = 185 & 5-3 1 & 1+1 = 58 & 14 18 & 14

Passo 3

Verifiquemos que P é invertível:
det P = 58 cdot 14 - 14 cdot 18 = 532 - 132 = 432 = 18 neq 0
Logo as colunas de P formam uma base beta. Explicitamente, podemos tomar
beta = l,v1=(58,,18),;v2=(14,,14)r,
e então de fato A cdot P = B, i.e.
[T]beta^alpha = B.

Resposta

Sim. Por exemplo, a base
beta = l(5/8,,1/8),;(1/4,,1/4)r
satisfaz [T]beta^alpha = 1 & 10 & 1.

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