(1,3) Considerando os operadores lineares L: P2 P2, D: P2 P2 e T: P2 P2 dados respectivamente por
L(p(t))=p(2 t+1), D(p(t))=p^prime(t) e T(p(t))=(D circ L)(p(t)), forall p(t) in P2
(a) Mostre que ker T subseteq ker(T circ T);
(b) Encontre representações matriciais para L e D na base canônica. Use estas representações para obter representações matriciais para T e T circ T;
(c) Calcule (se houver) os autovalores e autovetores associados a T e T circ T. Qual a relação entre os núcleos obtidos no item ( a ) e os autovetores de T e T circ T ?

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço P2 das polinômios de grau <=2 sobre R e define três operadores lineares
L(p(t))=p(2t+1), D(p(t))=p'(t), T=Dcirc L
Vamos (a) mostrar a inclusão entre núcleos, (b) encontrar as matrizes de L e D na base canônica 1,t,t^2 e delas obter as de T e Tcirc T, e (c) calcular autovalores e autovetores de T e Tcirc T e relacioná-los com esses núcleos.

Passo 2

Para todo pin P2, se pinker T então
T(p)=0;Longrightarrow;(Tcirc T)(p)=Tl(T(p)r)=T(0)=0
Logo qualquer p que zere T também zera Tcirc T, isto é
ker Tsubseteqkerl(Tcirc Tr)

Passo 3

Vamos achar a matriz de L na base 1,t,t^2.
Aplicando a cada vetor da base:
L(1)=1Rightarrow[1,0,0]^T,
L(t)=2t+1Rightarrow[1,2,0]^T,
L(t^2)=(2t+1)^2=4t^2+4t+1Rightarrow[1,4,4]^T
Portanto
L;widehat=; 1&1&1 0&2&4 0&0&4

Passo 4

Agora a matriz de D em 1,t,t^2:
D(1)=0;Rightarrow;[0,0,0]^T, D(t)=1;Rightarrow;[1,0,0]^T, D(t^2)=2t;Rightarrow;[0,2,0]^T
Logo
D;widehat=; 0&1&0 0&0&2 0&0&0
Como T=Dcirc L, a matriz de T é o produto D,L:
T;widehat=; 0&1&0 0&0&2 0&0&0 1&1&1 0&2&4 0&0&4 = 0&2&4 0&0&8 0&0&0
E Tcirc T corresponde a ,T^2:
T^2;widehat=; 0&2&4 0&0&8 0&0&0 ^2 = 0&0&16 0&0&0 0&0&0

Passo 5

Para ambos e verifica-se que o polinômio característico é , logo o único autovalor é .
Os autovetores de são as soluções de , isto é do sistema
Logo .
Já os autovetores de , dados por , satisfazem
portanto .
A relação com o item (a) é que esses núcleos são exatamente os espaços próprios associados ao autovalor zero de e de .

Resposta

(a) ker Tsubseteqker(Tcirc T) mostrado diretamente por T(p)=0implies T(T(p))=0.
(b)
L=1&1&10&2&40&0&4, D=0&1&00&0&20&0&0, T=D,L=0&2&40&0&80&0&0, T^2=0&0&160&0&00&0&0
(c) Ambos têm único autovalor lambda=0.
Os autovetores de T (ou seja ker T) são span(1,0,0) e os de T^2 (ou seja ker T^2) são span(1,0,0),(0,1,0). Esses núcleos coincidem com os respectivos espaços próprios de autovalor zero.

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