Considerando os operadores lineares e dados respectivamente por
(a) Mostre que ;
(b) Encontre representações matriciais para e na base canônica. Use estas representações para obter representações matriciais para e ;
(c) Calcule (se houver) os autovalores e autovetores associados a e . Qual a relação entre os núcleos obtidos no item ( ) e os autovetores de e ?
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço das polinômios de grau sobre e define três operadores lineares
Vamos (a) mostrar a inclusão entre núcleos, (b) encontrar as matrizes de e na base canônica e delas obter as de e , e (c) calcular autovalores e autovetores de e e relacioná-los com esses núcleos.
Passo 2
Para todo , se então
Logo qualquer que zere também zera , isto é
Passo 3
Vamos achar a matriz de na base .
Aplicando a cada vetor da base:
(c) Ambos têm único autovalor lambda=0.
Os autovetores de T (ou seja ker T) são span(1,0,0) e os de T^2 (ou seja ker T^2) são span(1,0,0),(0,1,0). Esses núcleos coincidem com os respectivos espaços próprios de autovalor zero.