Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções f:[0, pi] R :
f(theta)=sen(theta).

Passo 1

O enunciado pede as séries de Fourier seno e cosseno de f(theta)=sen(theta) no intervalo [0,pi].
Conteúdo: expandir f em
– Série seno:
f(theta)sim sumn=1^inftybnsin(ntheta),
com
bn=2piintegral0^pif(theta),sin(ntheta),dtheta
– Série cosseno:
f(theta)sim a02+sumn=1^inftyancos(ntheta),
com
an=2piintegral0^pif(theta),cos(ntheta),dtheta

Passo 2

Calcular bn. Substituindo f(theta)=sen(theta):
bn=2piintegral0^pisen(theta),sen(ntheta),dtheta
Para nneq1, usa-se
sen(theta)sen(ntheta) =tfrac12l[cos((n-1)theta)-cos((n+1)theta)r]
e cada integral de cos(ktheta) sobre [0,pi] é zero, logo bn=0.
Para n=1:
b1=2piintegral0^pisen^2(theta),dtheta =2picdotpi2=1

Passo 3

Escrevendo a série seno com os coeficientes:
f(theta)=sen(theta) =sumn=1^inftybnsin(ntheta) =sin(1theta),
isto é, só o termo n=1 aparece e a série coincide com a própria função.

Passo 4

Calcular a0 para a série cosseno:
a0=2piintegral0^pisen(theta),dtheta =2pil[-cos(theta)r]0^pi =2pi(2)=4pi

Passo 5

Calcular
Fazendo as integrais de e usando que elas anulam para inteiro não nulo, obtém-se
é ímpar},\ -\dfrac{4}{\pi,(4m^{2}-1)},&se é par. \end{cases}]

Passo 6

Escrever a série cosseno usando a0/2=2/pi e os a2m:
sen(theta) =a02+sumn=1^inftyancos(ntheta) =2pi -4pisumm=1^inftycos(2mtheta)4m^2-1

Resposta

Série seno:
sen(theta)=sumn=1^inftybnsin(ntheta), b1=1,;bn=0;(nneq1),
ou seja
sen(theta)=sin(theta)
Série cosseno:
sen(theta) =2pi -4pisumm=1^inftycos(2mtheta)4m^2-1

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