Problema 05 Calcule as derivadas abaixo através da definição então lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=1-4 x^2

Passo 1

No enunciado temos a função f(x)=1-4x^2 e pedem a derivada pelo limite
limhto0f(x+h)-f(x)h
O conteúdo aqui é a definição de derivada, que exige calcular a diferença incremental e depois o limite.

Passo 2

Substituímos x por x+h em f para obter
f(x+h)=1-4(x+h)^2

Passo 3

Agora formamos a diferença f(x+h)-f(x) e simplificamos:
f(x+h)-f(x) = l[1-4(x+h)^2r] - l[1-4x^2r] = -4l(x^2+2xh+h^2r) +4x^2 = -8xh -4h^2

Passo 4

Dividimos pela h na definição de derivada:
f(x+h)-f(x)h = -8xh -4h^2h = -8x -4h

Passo 5

Tomamos o limite quando hto0, eliminando o termo que contém h:
limhto0(-8x-4h) = -8x

Resposta

f'(x) = -8x

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