Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
:
.
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede as expansões de meia-onda de
no intervalo
: a série de Fourier cosseno (extensão par) e a série de Fourier seno (extensão ímpar). Vamos usar as fórmulas
para a série cosseno
e
para a série seno
Passo 2
Cálculo de
e de
. Primeiro
Para
,
Como
para todo inteiro
e
, só contribui o caso
, isto é
. Logo
e para
tem
.
Passo 3
A série de Fourier cosseno fica então
Ou seja, a expansão cosseno trivialmente reproduz
.
Passo 4
Agora o coeficiente
:
Usando
obtemos para
Para
dá zero diretamente.
Passo 5
Como
para
ímpar e
para
par, definimos
,
, e
Assim a série de Fourier seno é
Resposta
Série de Fourier cosseno:
Série de Fourier seno: