Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções f:[0, pi] R :
f(theta)=cos (theta).

Passo 1

O enunciado pede as expansões de meia-onda de f(theta)=costheta no intervalo [0,pi]: a série de Fourier cosseno (extensão par) e a série de Fourier seno (extensão ímpar). Vamos usar as fórmulas
A0=2piintegral0^pif(theta),dtheta, An=2piintegral0^pif(theta)cos(ntheta),dtheta,
para a série cosseno
f(theta)sim A02+sumn=1^inftyAncos(ntheta),
e
Bn=2piintegral0^pif(theta)sin(ntheta),dtheta
para a série seno
f(theta)sim sumn=1^inftyBnsin(ntheta)

Passo 2

Cálculo de A0 e de An. Primeiro
A0=2piintegral0^picostheta,dtheta =2pil[sinthetar]0^pi =2pi(0-0)=0
Para n>=1,
An=2piintegral0^picosthetacos(ntheta),dtheta =2picdot12 integral0^pil[cos((n+1)theta)+cos((n-1)theta)r]dtheta
Como integral0^picos(ktheta),dtheta=0 para todo inteiro kneq0 e integral0^pi1,dtheta=pi, só contribui o caso n-1=0, isto é n=1. Logo
A1=2piintegral0^picosthetacos(theta),dtheta =2piintegral0^picos^2theta,dtheta =2picdotpi2=1,
e para nneq1 tem An=0.

Passo 3

A série de Fourier cosseno fica então
costheta sim sumn=1^inftyAncos(ntheta) =1cdotcos(1theta) =costheta
Ou seja, a expansão cosseno trivialmente reproduz costheta.

Passo 4

Agora o coeficiente Bn:
Bn=2piintegral0^picosthetasin(ntheta),dtheta =2picdot12 integral0^pil[sin((n+1)theta)+sin((n-1)theta)r]dtheta
Usando
integral0^pisin(ktheta),dtheta =1-(-1)^kk,
obtemos para n>=2
Bn=1pil(1-(-1)^,n+1n+1+1-(-1)^,n-1n-1r) =2nl(1+(-1)^nr)pi,(n^2-1)
Para n=1 dá zero diretamente.

Passo 5

Como ,1+(-1)^n=0 para n ímpar e =2 para n par, definimos n=2m, m>=1, e
B2m=4,(2m)pil((2m)^2-1r) =8mpi(4m^2-1), B2m-1=0
Assim a série de Fourier seno é
costheta sim summ=1^inftyB2msin(2mtheta) =summ=1^infty8mpi(4m^2-1),sin(2mtheta)

Resposta

Série de Fourier cosseno:
costheta=costheta
Série de Fourier seno:
costheta =summ=1^infty8mpi(4m^2-1),sin(2mtheta)

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