Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
:
.
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
Passo 1
O enunciado quer que a gente ache, para
definida em
,
- a série de Fourier seno (extensão ímpar) e
- a série de Fourier cosseno (extensão par).
Vamos usar as fórmulas
Passo 2
Calculamos primeiro os coeficientes
. Definindo
faremos integração por partes com
,
. Assim
O termo de fronteira vale
.
Passo 3
Para
fazemos outra parte com
,
. Então
Logo
Então
Passo 4
A série de Fourier seno (extensão ímpar) fica
Passo 5
Agora a série de Fourier cosseno (extensão par). Primeiro
logo o termo constante é
. Para
,
Passo 6
Fazendo integração por partes análoga à do passo 3, chega-se a
portanto
Passo 7
A série de Fourier cosseno (extensão par) é
Resposta
Série de Fourier seno (extensão ímpar):
Série de Fourier cosseno (extensão par):