Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções f:[0, pi] R :
f(theta)=theta^2.

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache, para f(theta)=theta^2 definida em [0,pi],
  1. a série de Fourier seno (extensão ímpar) e
  2. a série de Fourier cosseno (extensão par).
    Vamos usar as fórmulas
bn = 2piintegral0^pi theta^2sin(ntheta),dtheta,
a0 = 2piintegral0^pi theta^2,dtheta, an = 2piintegral0^pi theta^2cos(ntheta),dtheta

Passo 2

Calculamos primeiro os coeficientes bn. Definindo
I = integral0^pitheta^2sin(ntheta),dtheta,
faremos integração por partes com u=theta^2, dv=sin(ntheta),dtheta. Assim
v = -cos(ntheta)n, du = 2theta,dtheta,
I = [-theta^2cos(ntheta)n]0^pi + 2nintegral0^pithetacos(ntheta),dtheta
O termo de fronteira vale -pi^2cos(npi)/n = -pi^2(-1)^n/n.

Passo 3

Para
J = integral0^pithetacos(ntheta),dtheta
fazemos outra parte com u=theta, dv=cos(ntheta),dtheta. Então
v = sin(ntheta)n, du = dtheta,
J = [thetasin(ntheta)n]0^pi - 1nintegral0^pisin(ntheta),dtheta = 0 ;-;1ncdot1-(-1)^nn = (-1)^n-1n^2
Logo
I = -pi^2(-1)^nn + 2n,(-1)^n-1n^2 = (-1)^n+1pi^2n + 2((-1)^n-1)n^3
Então
bn = 2piI = 2pi(-1)^n+1n + 4((-1)^n-1)pi,n^3

Passo 4

A série de Fourier seno (extensão ímpar) fica
theta^2 = sumn=1^infty bnsin(ntheta), bn = 2pi(-1)^n+1n + 4((-1)^n-1)pi,n^3

Passo 5

Agora a série de Fourier cosseno (extensão par). Primeiro
a0 = 2piintegral0^pitheta^2,dtheta = 2picdotpi^33 = 2pi^23,
logo o termo constante é a0/2 = pi^2/3. Para an,
an = 2piintegral0^pitheta^2cos(ntheta),dtheta

Passo 6

Fazendo integração por partes análoga à do passo 3, chega-se a
integral0^pitheta^2cos(ntheta),dtheta = 2(-1)^npin^2,
portanto
an = 2picdot2(-1)^npin^2 = 4(-1)^nn^2

Passo 7

A série de Fourier cosseno (extensão par) é
theta^2 = pi^23 + sumn=1^infty ancos(ntheta), an = 4(-1)^nn^2

Resposta

Série de Fourier seno (extensão ímpar):
theta^2 = sumn=1^infty l(2pi(-1)^n+1n + 4((-1)^n-1)pi,n^3r)sin(ntheta)
Série de Fourier cosseno (extensão par):
theta^2 = pi^23 + 4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(ntheta)

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