Calcule as integrais listadas abaixo,usando integração por partes:
integral arcsin (raizxx+1) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
I = integral arcsin!gl(raizxx+1gr),dx
O método escolhido é integração por partes, usando a regra
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arcsin!gl(raiztfracxx+1gr), dv = dx Longrightarrow v = x
Logo
I = x,u - integral x,du
Para encontrar du, defina
y = raizxx+1 Longrightarrow u = arcsin(y)

Passo 3

Calculemos tfracdudx por cadeia. Primeiro
dydx = 12raizxx+1,ddx!l(tfracxx+1r) = 12raizxx+1,1(x+1)^2 = 12raizx,(x+1)^3/2
E como
du = 1raiz1-y^2,dy, 1-y^2 = 1 - xx+1 = 1x+1,
temos
dudx = raizx+1,12raizx,(x+1)^3/2 = 12raizx,(x+1),
ou seja
du = dx2raizx,(x+1)

Passo 4

Substituindo em I = x,u - integral x,du
I = x,arcsin!gl(raiztfracxx+1gr) - 12 integral xraizx,(x+1),dx = x,arcsin!gl(raiztfracxx+1gr) - 12 integral raizxx+1,dx
Resta calcular
integral raizxx+1,dx.

Passo 5

Use a substituição t = raizx, x=t^2, dx=2t,dt. Então
integral raizxx+1,dx = integral tt^2+1,2t,dt = 2integral t^2t^2+1,dt = 2integrall(1 - 1t^2+1r),dt = 2t - 2arctan(t) + C
Voltando a x:
integral raizxx+1,dx = 2raizx - 2arctan!l(raizxr) + C
Assim
I = x,arcsin!gl(raiztfracxx+1gr) - 12l(2raizx - 2arctan(raizx)r) + C = x,arcsin!gl(raiztfracxx+1gr) - raizx + arctan!l(raizxr) + C

Resposta

boxed integral arcsin!gl(raizxx+1gr),dx = x,arcsin!gl(raiztfracxx+1gr) - raizx + arctan!l(raizxr) + C

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