Exercício 19. (Apostol, capítulo 8.22, exercícios 3, 8 e 10)
Seja u=f(x, y), x=X(r, s, t) e y=Y(r, s, t). Logo, se F(r, s, t)=f(X(r, s, t), Y(r, s, t)), então calcule partial Fpartial t, partial Fpartial s e partial Fpartial r em função de partial fpartial x, partial fpartial y, partial Xpartial r, partial Xpartial t, partial Xpartial s, partial Ypartial r, partial Ypartial t e partial Ypartial s.

Passo 1

O enunciado define a composição
F(r,s,t)=fl(X(r,s,t),,Y(r,s,t)r),
onde u=f(x,y), x=X(r,s,t) e y=Y(r,s,t).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para derivadas parciais: quando uma função depende de variáveis que, por sua vez, dependem de outros parâmetros, a derivada parcial de F em relação a um parâmetro (mantendo os demais fixos) é a soma das derivadas de f em cada variável vezes a derivada dessa variável em relação ao parâmetro.

Passo 2

Para calcular partial Fpartial t mantemos r e s fixos e aplicamos a regra da cadeia:
partial Fpartial t =partial fpartial x,partial Xpartial t +partial fpartial y,partial Ypartial t

Passo 3

Para calcular partial Fpartial s mantemos r e t fixos e, de modo análogo, obtemos
partial Fpartial s =partial fpartial x,partial Xpartial s +partial fpartial y,partial Ypartial s

Passo 4

Para calcular partial Fpartial r mantemos s e t fixos e usamos a mesma ideia:
partial Fpartial r =partial fpartial x,partial Xpartial r +partial fpartial y,partial Ypartial r

Resposta

partial Fpartial t =partial fpartial x,partial Xpartial t +partial fpartial y,partial Ypartial t,
partial Fpartial s =partial fpartial x,partial Xpartial s +partial fpartial y,partial Ypartial s,
partial Fpartial r =partial fpartial x,partial Xpartial r +partial fpartial y,partial Ypartial r

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