Exercício 19. (Apostol seção 12.15 exercício 12) Mostre que o teorema de Green pode ser expresso como
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma usual do Teorema de Green
pode ser reescrita usando notação vetorial como
O conteúdo envolve o Teorema de Green, o rotacional de um campo em
e a integral de linha em termos do vetor tangente.
Passo 2
Definimos o campo vetorial no plano por
Na forma escalar de Green, a integral de linha sobre
orientada positivamente é
Reconhecemos que, se
é o vetor unitário tangente à curva
e
é o elemento de comprimento de arco, então
e portanto
Passo 3
Agora calculamos o rotacional de
em
. Visto como campo em
com componente
na direção
,
e
Logo,
Passo 4
Substituindo em cada lado do Teorema de Green, obtemos
e
Como essas duas expressões coincidem com a forma escalar do Teorema de Green, concluímos que