Exercício 19. (Apostol seção 12.15 exercício 12) Mostre que o teorema de Green pode ser expresso como
integral dupla(nabla times V) cdot k d x d y=ointC V cdot T d s

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma usual do Teorema de Green
integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =ointCP,dx+Q,dy
pode ser reescrita usando notação vetorial como
integral duplaD(nablatimes V)cdot k,dx,dy =ointCVcdot T,ds
O conteúdo envolve o Teorema de Green, o rotacional de um campo em R^2 e a integral de linha em termos do vetor tangente.

Passo 2

Definimos o campo vetorial no plano por
V(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j
Na forma escalar de Green, a integral de linha sobre C orientada positivamente é
ointCP,dx+Q,dy
Reconhecemos que, se T é o vetor unitário tangente à curva C e ds é o elemento de comprimento de arco, então
dx,i+dy,j=T,ds
e portanto
P,dx+Q,dy =Vcdot(dx,i+dy,j) =Vcdot T,ds

Passo 3

Agora calculamos o rotacional de V em R^2. Visto como campo em R^3 com componente 0 na direção k,
V(x,y)=(P,Q,0)
e
nablatimes V = i & j & k partialx & partialy & partialz P & Q & 0 =l(0,0,partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Logo,
(nablatimes V)cdot k =partial Qpartial x-partial Ppartial y

Passo 4

Substituindo em cada lado do Teorema de Green, obtemos
integral duplaD(nablatimes V)cdot k,dA =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
e
ointCVcdot T,ds =ointCP,dx+Q,dy
Como essas duas expressões coincidem com a forma escalar do Teorema de Green, concluímos que
integral duplaD(nablatimes V)cdot k,dx,dy =ointCVcdot T,ds

Resposta

integral duplaD(nabla times V)cdot k,dx,dy =ointCVcdot T,ds

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