Esboce o gráfico das funções:
m(x)=4 x^2x^2+3

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
m(x)=4x^2x^2+3
O conteúdo envolve análise de função racional: domínio, interceptos, simetria, limites em pminfty, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade e assíntotas.

Passo 2

Domínio e simetria. Como x^2+3>0 para todo x, o domínio é R. Note que
m(-x)=4(-x)^2(-x)^2+3=4x^2x^2+3=m(x),
ou seja, m é par, e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. O intercepto em x=0 é
m(0)=4cdot0^20^2+3=0

Passo 3

Limite em pminfty. Para lvert xrverttoinfty temos
limxtopminfty4x^2x^2+3 =limxtopminfty41+3/x^2=4
Logo há assíntota horizontal y=4. Nunca atinge y=4 pois resolver 4x^2/(x^2+3)=4 dá contradição.

Passo 4

Monotonicidade. Calculamos a derivada por regra do quociente:
m'(x) =(8x)(x^2+3)-4x^2cdot2x(x^2+3)^2 =8x^3+24x-8x^3(x^2+3)^2 =24x(x^2+3)^2
Como (x^2+3)^2>0, o sinal de m'(x) é o de x. Assim m decresce em (-infty,0), cresce em (0,infty) e tem único mínimo em x=0, com m(0)=0.

Passo 5

Concavidade e pontos de inflexão. A segunda derivada é
m''(x) =72,(1-x^2)(x^2+3)^3
Logo m''(x)>0 em lvert xrvert<1 (côncava para cima) e m''(x)<0 em lvert xrvert>1 (côncava para baixo). Os pontos de inflexão satisfazem x=pm1, onde
m(1)=m(-1)=4cdot1^21+3=1

Resposta

O gráfico de m(x) é uma curva par que parte de y=4 (assíntota horizontal), decresce até o mínimo (0,0), depois cresce simetricamente até se aproximar de y=4. Há inflexões em (pm1,1), não existem assíntotas verticais.

Exercícios relacionados