Exercício 19: Calcule as derivadas.
f(x)=\ln (2 x+5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função \displaystyle f(x)=\ln(2x+5).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x)=\ln(2x+5).
  • Para que a função esteja definida precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo, ou seja \displaystyle 2x+5>0 (essa informação é importante para o domínio onde a derivada faz sentido).

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula-chave que vamos usar: se temos uma função composta \displaystyle f(x)=\ln(u(x)), a derivada de \ln aplicada a uma função é dada pela regra da cadeia. A regra diz:
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
O que isso significa, explicado passo a passo:
  • u(x) é a função interna (no nosso caso será 2x+5).
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
  • A regra da cadeia aplica-se porque estamos derivando uma composição: primeiro diferenciamos \ln(t) em relação a t (que é \tfrac{1}{t}), depois multiplicamos por a derivada de t=u(x) em relação a x.

Passo 3

Identificamos a função interna e calculamos sua derivada:
Tomamos \displaystyle u(x)=2x+5. Agora calculamos \displaystyle u'(x).
A derivada de uma função linear \displaystyle ax+b é simplesmente \displaystyle a, porque a derivada de \displaystyle x é \displaystyle 1 e constantes somadas têm derivada \displaystyle 0. Aplicando isso:
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x+5)=2.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 usando \displaystyle u(x)=2x+5 e \displaystyle u'(x)=2:
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2}{2x+5}.
Podemos deixar assim ou reescrever fatorando: \displaystyle \frac{2}{2x+5}=\frac{1}{x+\tfrac{5}{2}}. Ambas representam a mesma derivada; eu deixo na forma \displaystyle \frac{2}{2x+5} porque é a aplicação direta da fórmula.

Passo 5

Lembrete sobre domínio: a expressão da derivada envolve divisão por 2x+5, e também a função original exige 2x+5>0. Assim a derivada faz sentido para \displaystyle x>-\frac{5}{2}.
Força aí — você já tem a fórmula geral: para \displaystyle f(x)=\ln(ax+b) a derivada é \displaystyle \frac{a}{ax+b}. Com isso você resolve rápido variações parecidas na prova.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{2}{2x+5}

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