Exercício 19: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a(s) derivada(s) da função
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é
. - Para que a função esteja definida precisamos que o argumento do logaritmo seja positivo, ou seja
(essa informação é importante para o domínio onde a derivada faz sentido).
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula-chave que vamos usar: se temos uma função composta
, a derivada de
aplicada a uma função é dada pela regra da cadeia. A regra diz:
O que isso significa, explicado passo a passo:
-
é a função interna (no nosso caso será ). -
é a derivada da função interna em relação a . - A regra da cadeia aplica-se porque estamos derivando uma composição: primeiro diferenciamos
em relação a (que é ), depois multiplicamos por a derivada de em relação a .
Passo 3
Identificamos a função interna e calculamos sua derivada:
Tomamos . Agora calculamos
.
A derivada de uma função linear é simplesmente
, porque a derivada de
é
e constantes somadas têm derivada
. Aplicando isso:
Tomamos
A derivada de uma função linear
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula do Passo 2 usando
e
:
Podemos deixar assim ou reescrever fatorando:
. Ambas representam a mesma derivada; eu deixo na forma
porque é a aplicação direta da fórmula.
Passo 5
Lembrete sobre domínio: a expressão da derivada envolve divisão por
, e também a função original exige
. Assim a derivada faz sentido para
.
Força aí — você já tem a fórmula geral: para
a derivada é
. Com isso você resolve rápido variações parecidas na prova.