Exercício 20: Calcule as derivadas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a(s) derivada(s) da função dada. As informações relevantes são:
- A função é
. - Precisamos encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Entendendo o que vamos usar: a função é o produto de duas funções mais simples:
e
. Quando temos uma função que é produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
Aqui
e
são as derivadas de
e
respectivamente. Essa fórmula significa: a derivada do produto é a soma de (derivada da primeira vezes a segunda) mais (primeira vezes derivada da segunda). Fica simples de aplicar passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das duas funções simples que aparecem no produto:
- Para
, a derivada é
Explicando: a derivada de
em relação a
é
porque a taxa de variação de
por
é uma unidade por unidade.
- Para
, precisamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se então
No nosso caso
. Então
. Aplicando:
Explicando em palavras: a exponencial
cresce seguindo a própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente; como o expoente é
e sua derivada é
, temos um fator
a mais.
Passo 4
Agora aplicamos a regra do produto com
já calculados:
Substituindo:
Escrevendo de maneira mais limpa:
Passo 5
Fatorando
para deixar a expressão mais compacta (isso é comum e útil na prova):
Aqui eu apenas coloquei
em evidência porque aparece em ambos os termos.