Exercício 20: Calcule as derivadas.
f(x)=x e^{5 x}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a(s) derivada(s) da função dada. As informações relevantes são:
  • A função é f(x)=x e^{5 x}.
  • Precisamos encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Entendendo o que vamos usar: a função é o produto de duas funções mais simples: u(x)=x e v(x)=e^{5x}. Quando temos uma função que é produto de duas funções, usamos a regra do produto. A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)\,v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v respectivamente. Essa fórmula significa: a derivada do produto é a soma de (derivada da primeira vezes a segunda) mais (primeira vezes derivada da segunda). Fica simples de aplicar passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das duas funções simples que aparecem no produto:
  • Para u(x)=x, a derivada é
u'(x)=\frac{d}{dx}x=1.
Explicando: a derivada de x em relação a x é 1 porque a taxa de variação de x por x é uma unidade por unidade.
  • Para v(x)=e^{5x}, precisamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se v(x)=e^{u(x)} então
v'(x)=\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
No nosso caso u(x)=5x. Então u'(x)=\frac{d}{dx}(5x)=5. Aplicando:
v'(x)=5\,e^{5x}.
Explicando em palavras: a exponencial e^{(\cdot)} cresce seguindo a própria exponencial multiplicada pela derivada do expoente; como o expoente é 5x e sua derivada é 5, temos um fator 5 a mais.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do produto com u,u',v,v' já calculados:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo:
f'(x)=1\cdot e^{5x}+x\cdot 5 e^{5x}.
Escrevendo de maneira mais limpa:
f'(x)=e^{5x}+5x e^{5x}.

Passo 5

Fatorando e^{5x} para deixar a expressão mais compacta (isso é comum e útil na prova):
f'(x)=e^{5x}\big(1+5x\big).
Aqui eu apenas coloquei e^{5x} em evidência porque aparece em ambos os termos.

Resposta

f'(x)=e^{5x}\big(1+5x\big)

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