Exercício 19: Calcule as derivadas. g(x)=\ln \left(2 x^{2}+5 x\right)
Passo 1
O enunciado dá a função g definida por g(x)=\ln\!\big(2x^{2}+5x\big) e pede para calcular as derivadas (ou seja, g'(x)). Informações relevantes fornecidas:
A função a ser derivada é g(x)=\ln\!\big(2x^{2}+5x\big).
O argumento do logaritmo é 2x^{2}+5x, que precisa ser positivo para g estar definido (ou seja, 2x^{2}+5x>0).
Não vou resolver nada ainda; só listei o que o enunciado deu e o que é pedido.
Passo 2
Vamos usar uma ideia simples e poderosa: se você tem uma composição do tipo \ln(u(x)), a derivada é dada pela regra da cadeia. Antes de aplicar, vou explicar a regra com calma e mostrar por que ela funciona de forma prática na prova.
Regra importante (cadeia aplicada ao logaritmo): para h(x)=\ln\!\big(u(x)\big) com u(x)>0,
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
O motivo intuitivo: a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t. Quando t depende de x (ou seja, t=u(x)), pela regra da cadeia multiplicamos por dt/dx=u'(x). Então vem h'(x)=(d\ln t/dt)\big|_{t=u(x)}\cdot u'(x)=\frac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Exemplo rápido para fixar: se k(x)=\ln(3x), então u(x)=3x, u'(x)=3 e
k'(x)=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}.
Percebeu? Serve na prova porque transforma a derivada do log em uma divisão pelo próprio argumento, multiplicada pela derivada do argumento.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: identifique o u(x) interno.
u(x)=2x^{2}+5x.
Agora precisamos calcular u'(x). Vou lembrar a regra do poder e da soma:
A derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
A derivada de a x (com a constante) é a.
Usando isso:
\frac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)=2\cdot 2x=4x,
\frac{d}{dx}\big(5x\big)=5.
Somando,
u'(x)=4x+5.
Passo 4
Agora aplique a fórmula da derivada do logaritmo composta:
g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{4x+5}{2x^{2}+5x}.
Passo 5
Podemos escrever a resposta de forma fatorada no denominador para ver o domínio mais claramente. Note que
2x^{2}+5x = x(2x+5).
Então
g'(x)=\frac{4x+5}{x(2x+5)}.
A derivada só faz sentido nos pontos onde g está definido, isto é, onde 2x^{2}+5x>0. Resolvendo x(2x+5)>0 obtemos os intervalos