Exercício 21: Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
definida por
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O que se quer é
, a derivada de em função de .
Passo 2
Ideia principal (fórmula que vamos usar): quando temos uma função composta do tipo
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
Explicando cada pedaço:
-
é a função interior (aquela que está dentro do cosseno). -
é a função exterior; a derivada de em relação a é . - Depois de derivar a parte exterior, multiplicamos pelo derivado da parte interior
.
Isso é a essência da regra da cadeia: derivar de fora pra dentro e multiplicar pelo derivado da parte de dentro.
Passo 3
Identificamos a função interior:
Agora vamos calcular
. Usamos as regras básicas:
- Regra do poder:
. - Regra do coeficiente constante:
.
Aplicando essas regras:
Somando as derivadas das parcelas (regra da soma):
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia que escrevemos no Passo 2. Substituindo
e
na fórmula:
fica
Podemos escrever a mesma coisa trocando a ordem dos fatores (pois multiplicação é comutativa):
Passo 5
Breve interpretação para a prova: sempre que você ver
ou
, pense imediatamente na regra da cadeia. Derive o cosseno (ou seno) como função externa e multiplique pelo derivado do “algo”. Aqui o “algo” era um polinômio simples, então bastou usar a regra do poder e somar as derivadas das parcelas.