Exercício 21: Calcule f^{\prime}(x), onde f(x)=\cos \left(2 x^{2}+5 x\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f definida por
f(x)=\cos\bigl(2x^{2}+5x\bigr).
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\cos\bigl(2x^{2}+5x\bigr).
  • O que se quer é f^{\prime}(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Ideia principal (fórmula que vamos usar): quando temos uma função composta do tipo \cos\bigl(u(x)\bigr), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz:
\frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Explicando cada pedaço:
  • u(x) é a função interior (aquela que está dentro do cosseno).
  • \cos é a função exterior; a derivada de \cos(t) em relação a t é -\sin(t).
  • Depois de derivar a parte exterior, multiplicamos pelo derivado da parte interior u'(x).
    Isso é a essência da regra da cadeia: derivar de fora pra dentro e multiplicar pelo derivado da parte de dentro.

Passo 3

Identificamos a função interior:
u(x)=2x^{2}+5x.
Agora vamos calcular u'(x). Usamos as regras básicas:
  • Regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Regra do coeficiente constante: \frac{d}{dx}[a\cdot g(x)]=a\cdot g'(x).
Aplicando essas regras:
  • \frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2\cdot(2x)=4x.
  • \frac{d}{dx}\bigl(5x\bigr)=5\cdot\frac{d}{dx}(x)=5\cdot 1=5.
Somando as derivadas das parcelas (regra da soma):
u'(x)=4x+5.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia que escrevemos no Passo 2. Substituindo u(x) e u'(x) na fórmula:
\frac{d}{dx}\cos\bigl(u(x)\bigr) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)
fica
f'(x) = -\sin\bigl(2x^{2}+5x\bigr)\cdot(4x+5).
Podemos escrever a mesma coisa trocando a ordem dos fatores (pois multiplicação é comutativa):
f'(x)=-(4x+5)\sin\bigl(2x^{2}+5x\bigr).

Passo 5

Breve interpretação para a prova: sempre que você ver \cos(\text{algo em }x) ou \sin(\text{algo em }x), pense imediatamente na regra da cadeia. Derive o cosseno (ou seno) como função externa e multiplique pelo derivado do “algo”. Aqui o “algo” era um polinômio simples, então bastou usar a regra do poder e somar as derivadas das parcelas.

Resposta

f'(x)=-(4x+5)\sin\bigl(2x^{2}+5x\bigr)

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