A probabilidade de um indivíduo derrubar uma árvore com risco de extinção é de 0,20 . Dado que 30 árvores são derrubadas, qual a probabilidade de que pelo menos 3 estejam com risco de extinção. (1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A probabilidade de uma árvore derrubada estar com risco de extinção é p=0,20.
  • O número total de árvores derrubadas é n=30.
    O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que, entre as 30 árvores derrubadas, pelo menos 3 estejam com risco de extinção (ou seja, a probabilidade de que o número de árvores em risco seja \ge 3).

Passo 2

Modelagem: vamos definir a variável aleatória
X = \text{número de árvores com risco de extinção entre as }30.úáçã
Como cada árvore tem probabilidade p de ser de risco, e as árvores são assumidas independentes, X segue a distribuição binomial com parâmetros n e p. Escrevemos
X \sim \mathrm{Bin}(n,p).
A função de probabilidade da binomial é
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher k sucessos em n ensaios).

Passo 3

Estratégia de cálculo: queremos \Pr(X\ge 3). É mais simples usar o complementar:
\Pr(X\ge 3)=1-\Pr(X\le 2)=1-\bigl[\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)\bigr].
Assim basta calcular as probabilidades para k=0,1,2 e subtrair de 1.

Passo 4

Coeficientes binomiais necessários e preparação:
\binom{30}{0}=1,\qquad \binom{30}{1}=30,\qquad \binom{30}{2}=\frac{30\cdot29}{2}=435.
Também usaremos 1-p=0,80. Para as potências de 0,8 podemos calcular incrementalmente:
(0,8)^{10}=0,1073741824,
(0,8)^{20}=(0,8)^{10}\cdot(0,8)^{10}=0,011529215046068482,
(0,8)^{30}=(0,8)^{20}\cdot(0,8)^{10}=0,0012379400392853803.

Passo 5

Calcular \Pr(X=0):
\Pr(X=0)=\binom{30}{0}\,p^{0}\,(1-p)^{30}=(0,8)^{30}=0,0012379400392853803.

Passo 6

Calcular \Pr(X=1):
\Pr(X=1)=\binom{30}{1}\,p^{1}\,(1-p)^{29}=30\cdot0,2\cdot(0,8)^{29}.
Como (0,8)^{29}=(0,8)^{30}/0,8, temos (0,8)^{29}=0,0015474250491067254. Portanto
\Pr(X=1)=30\cdot0,2\cdot0,0015474250491067254=6\cdot0,0015474250491067254=0,0092845502946403524.

Passo 7

Calcular \Pr(X=2):
\Pr(X=2)=\binom{30}{2}\,p^{2}\,(1-p)^{28}=435\cdot(0,2)^{2}\cdot(0,8)^{28}.
Usamos (0,8)^{28}=(0,8)^{30}/(0,8)^{2}=0,0019345938110396567. Então
\Pr(X=2)=435\cdot0,04\cdot0,0019345938110396567 =435\cdot0,00007738375244158627 \approx 0,03366193231209003.

Passo 8

Somar as probabilidades complementares e obter o resultado:
\Pr(X\le 2)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2) \approx 0,0012379400392853803+0,0092845502946403524+0,03366193231209003 \approx 0,04418442264601576.
Portanto
\Pr(X\ge 3)=1-\Pr(X\le 2)\approx 1-0,04418442264601576\approx 0,9558155773539842.

Passo 9

Interpretação final rápida (ânimo!): a chance de que pelo menos 3 das 30 árvores derrubadas estejam em risco de extinção é muito alta — cerca de 95{,}6\%. Isso significa que, com p=0,20 e n=30, é bastante provável encontrar três ou mais árvores em risco.

Resposta

\approx 0,9558

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