A probabilidade de um indivíduo derrubar uma árvore com risco de extinção é de 0,20 . Dado que 30 árvores são derrubadas, qual a probabilidade de que pelo menos 3 estejam com risco de extinção. (1,5 pontos)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A probabilidade de uma árvore derrubada estar com risco de extinção é
. - O número total de árvores derrubadas é
.
O que o problema pede: - Calcular a probabilidade de que, entre as
árvores derrubadas, pelo menos estejam com risco de extinção (ou seja, a probabilidade de que o número de árvores em risco seja ).
Passo 2
Modelagem: vamos definir a variável aleatória
Como cada árvore tem probabilidade
de ser de risco, e as árvores são assumidas independentes,
segue a distribuição binomial com parâmetros
e
. Escrevemos
A função de probabilidade da binomial é
onde
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher
sucessos em
ensaios).
Passo 3
Estratégia de cálculo: queremos
. É mais simples usar o complementar:
Assim basta calcular as probabilidades para
e subtrair de
.
Passo 4
Coeficientes binomiais necessários e preparação:
Também usaremos
. Para as potências de
podemos calcular incrementalmente:
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Calcular
:
Como
, temos
. Portanto
Passo 7
Calcular
:
Usamos
. Então
Passo 8
Somar as probabilidades complementares e obter o resultado:
Portanto
Passo 9
Interpretação final rápida (ânimo!): a chance de que pelo menos
das
árvores derrubadas estejam em risco de extinção é muito alta — cerca de
. Isso significa que, com
e
, é bastante provável encontrar três ou mais árvores em risco.