Exercício 19. Considere
definida por
. Mostre que
e que existe a função inversa
. Qual a conclusão sobre a diferenciabilidade de
na origem?
Passo 1
O enunciado considera a função
e pede três coisas: mostrar que a diferencial de
em
é a aplicação zero, provar que
tem inversa
e concluir sobre a diferenciabilidade de
na origem. Para isso usamos conceitos de jacobiano, bijetividade e critério de diferenciabilidade por limites.
Passo 2
Vamos calcular o jacobiano de
. Como
temos
Logo a matriz jacobiana é
e em
isto dá
ou seja, a aplicação diferencial é zero.
Passo 3
Para achar a inversa, note que
é bijetora em
, com inversa
. Logo
que está bem definida em todo
. Isso mostra que
é bijetora e que sua inversa existe globalmente.
Passo 4
O teorema da função inversa exige que
seja invertível para garantir diferenciabilidade de
perto da origem. Mas vimos que
não é invertível. De fato, se tentássemos calcular a derivada parcial de
em
, teríamos
então esse limite não existe como número finito. Portanto
não é diferenciável na origem.