Exercício 19. Considere F: R^2 longrightarrow R^2 definida por F(x, y)=(x^3, y^3). Mostre que F^prime(0,0)=0 e que existe a função inversa F^-1. Qual a conclusão sobre a diferenciabilidade de F^-1 na origem?

Passo 1

O enunciado considera a função
Fcolon R^2toR^2, F(x,y)=(x^3,y^3)
e pede três coisas: mostrar que a diferencial de F em (0,0) é a aplicação zero, provar que F tem inversa F^-1 e concluir sobre a diferenciabilidade de F^-1 na origem. Para isso usamos conceitos de jacobiano, bijetividade e critério de diferenciabilidade por limites.

Passo 2

Vamos calcular o jacobiano de F. Como
F(x,y)=(x^3,y^3),
temos
partialpartial x(x^3)=3x^2, partialpartial y(x^3)=0,
partialpartial x(y^3)=0, partialpartial y(y^3)=3y^2
Logo a matriz jacobiana é
F'(x,y) =3x^2&00&3y^2,
e em (0,0) isto dá
F'(0,0) =0&00&0,
ou seja, a aplicação diferencial é zero.

Passo 3

Para achar a inversa, note que xmapsto x^3 é bijetora em R, com inversa umapsto u^1/3. Logo
F^-1(u,v)=(u^1/3,,v^1/3),
que está bem definida em todo R^2. Isso mostra que F é bijetora e que sua inversa existe globalmente.

Passo 4

O teorema da função inversa exige que F'(0,0) seja invertível para garantir diferenciabilidade de F^-1 perto da origem. Mas vimos que F'(0,0)=0 não é invertível. De fato, se tentássemos calcular a derivada parcial de umapsto u^1/3 em 0, teríamos
limtto0(t)^1/3-0t =limtto0t^-2/3 =+infty,
então esse limite não existe como número finito. Portanto F^-1 não é diferenciável na origem.

Resposta

F'(0,0)=0. A inversa existe e é F^-1(u,v)=(u^1/3,v^1/3). Concluímos que F^-1 não é diferenciável em (0,0).

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