Verifique se as funções dadas abaixo são diferenciáveis na origem.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
f é diferenciável na origem.
Para isso precisamos, primeiro, checar sef é contínua em
(0,0) , pois diferenciabilidade implica continuidade. Caso seja contínua, ainda precisaríamos ver se existe aproximação linear (gradiente) que modele o comportamento de
f próximo à origem.
Para isso precisamos, primeiro, checar se
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) com
x^2neq y^2 podemos fatorar
logo, em todos os pontos onde
xneq y e
xneq -y ,
Passo 3
Vejamos o limite ao aproximar pela reta
y=kx , com
kneq -1 .
Substituindoy=kx em
f :
Substituindo
À medida que
xto0 , isso vai a
0 . Portanto, para toda reta de coeficiente angular
kneq -1 obtemos
limxto0f(x,kx)=0 .
Passo 4
Agora escolhemos um caminho que se aproxima da reta
y=-x mas permanece no domínio:
definimos
definimos
de modo que
x+y = x^2neq0 para
xneq0 . Então
depois de cancelar o fator
x^3 . Logo, quando
xto0 ,
Passo 5
Como um caminho dá limite
0 e outro dá limite
1 , não existe
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) . Logo
f não é contínua em
(0,0) .
Passo 6
Diferenciabilidade implica continuidade. Como
f não é contínua na origem, concluímos que
f não é diferenciável em
(0,0) .
Resposta
A função
f não é diferenciável na origem.