Verifique se as funções dadas abaixo são diferenciáveis na origem.
f(x, y)= x^3-y^3x^2-y^2 & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^3 - y^3x^2 - y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é diferenciável na origem.
Para isso precisamos, primeiro, checar se f é contínua em (0,0), pois diferenciabilidade implica continuidade. Caso seja contínua, ainda precisaríamos ver se existe aproximação linear (gradiente) que modele o comportamento de f próximo à origem.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) com x^2neq y^2 podemos fatorar
x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2), x^2-y^2 = (x-y)(x+y),
logo, em todos os pontos onde xneq y e xneq -y,
f(x,y) = x^2+xy+y^2x+y

Passo 3

Vejamos o limite ao aproximar pela reta y=kx, com kneq -1.
Substituindo y=kx em f:
f(x,kx) =x^2 + kx^2 + k^2x^2x(1+k) =(1+k+k^2)x^2(1+k)x =(1+k+k^2),x1+k
À medida que xto0, isso vai a 0. Portanto, para toda reta de coeficiente angular kneq -1 obtemos
limxto0f(x,kx)=0.

Passo 4

Agora escolhemos um caminho que se aproxima da reta y=-x mas permanece no domínio:
definimos
y = -,x + x^2,
de modo que x+y = x^2neq0 para xneq0. Então
fl(x,,-x+x^2r) = x^3 - ( -x+x^2)^3x^2 - ( -x+x^2)^2 = 2 -3x +3x^2 - x^32 - x,,
depois de cancelar o fator x^3. Logo, quando xto0,
limxto0fl(x,-x+x^2r) = 22 =1

Passo 5

Como um caminho dá limite 0 e outro dá limite 1, não existe
lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 6

Diferenciabilidade implica continuidade. Como f não é contínua na origem, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função f não é diferenciável na origem.

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