Faça os seguintes itens:
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
raiz[3]x-8+9 raiz[3]x^2=29
tem pelo menos uma solução no intervalo 0 <= x <= 8.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário, que afirma que se uma função f é contínua num intervalo fechado [a,b] e assume valores de sinais opostos em a e b, então existe pelo menos um cin(a,b) tal que f(c)=0. Aqui definimos a função
f(x)=raiz[3]x-8+9raiz[3]x^2-29
e vamos verificar que ela é contínua em [0,8] e muda de sinal em 0 e em 8.

Passo 2

Mostramos que f é contínua em [0,8]. De fato, as funções xmapstoraiz[3]x-8 e xmapstoraiz[3]x^2 são compostas de raízes ímpares e potências polinomiais, todas contínuas em R. Logo
f(x)=raiz[3]x-8+9raiz[3]x^2-29
é soma e subtração de funções contínuas, portanto contínua em todo R, em particular em [0,8].

Passo 3

Calculamos f(0):
f(0)=raiz[3]0-8+9raiz[3]0^2-29 =raiz[3]-8+9cdot0-29=-2-29=-31<0

Passo 4

Calculamos f(8):
f(8)=raiz[3]8-8+9raiz[3]8^2-29 =raiz[3]0+9raiz[3]64-29=0+9cdot4-29=36-29=7>0

Passo 5

Como f é contínua em [0,8] e f(0)cdot f(8) = (-31)cdot7 < 0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um cin(0,8) tal que
f(c)=0,
ou seja,
raiz[3]c-8+9raiz[3]c^2=29

Resposta

A equação raiz[3]x-8+9raiz[3]x^2=29 tem pelo menos uma solução em [0,8].

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