1. Use a definição de derivada para determinar f^prime(1), onde f(x)=1|x|. Obtenha, ainda, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a definição de derivada
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
para encontrar f'(1), onde
f(x)=1|x|
Em seguida, queremos a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (1,1).
Como 1>0, na vizinhança de x=1 temos |x|=x e, portanto, f(x)=1/x.

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada em a=1:
f'(1) =limhto0f(1+h)-f(1)h =limhto011+h-11h =limhto01-(1+h)1+hh

Passo 3

Simplificando o numerador:
1-(1+h)1+h=-h1+h,
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f'(1) =limhto0-hh(1+h) =limhto0-11+h =-1

Passo 4

A reta tangente em (1,1) tem equação no formato ponto-inclinação:
y-1=f'(1),(x-1) Longrightarrow y-1=-1,(x-1) Longrightarrow y=-x+2

Resposta

f'(1)=-1
A reta tangente é y=-x+2.

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