Exercício 18. *(Regra da Cadeia em mais Variáveis.) Podemos estender a regra da cadeia para três variáveis (ou até mais variáveis). Se x, y, z são substituídos por u, v, w (isto é, x=x(u, v, w), y=y(u, v, w) e z=z(u, v, w) ) então
\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial u} .
Neste caso, a matriz Jacobiana (ver exemplo 42) é uma matriz 3 \times 3, dada por
J=\left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right]
O determinante da matriz Jacobiana é chamado determinante Jacobiano.
a) Considere a mudança de variáveis linear
x=u+2 v, \quad y=3 u-v+w, \quad z=2 v-w
Calcule o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis (resposta: 5). Escreva a mudança inversa (isto é, isole u, v, w em função de x, y, z ) e verifique que a matriz Jacobiana é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança de x, y, z para u, v, w.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: calular o determinante Jacobiano da mudança linear dada, escrever a mudança inversa (ou seja, isolar u,v,w em função de x,y,z) e verificar que a matriz Jacobiana da inversa é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança direta.
Informações dadas (todas são relevantes):
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
Também foi informado que a resposta esperada para o determinante é 5 (vamos confirmar isso).
A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos escrever a matriz Jacobiana da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z) usando exatamente a convenção do enunciado: a matriz J tem nas linhas as derivadas em relação a u,v,w e nas colunas as derivadas das componentes x,y,z. Calculamos cada derivada parcial diretamente da definição das componentes:
\frac{\partial x}{\partial u}=1,\quad \frac{\partial x}{\partial v}=2,\quad \frac{\partial x}{\partial w}=0,
\frac{\partial y}{\partial u}=3,\quad \frac{\partial y}{\partial v}=-1,\quad \frac{\partial y}{\partial w}=1,
\frac{\partial z}{\partial u}=0,\quad \frac{\partial z}{\partial v}=2,\quad \frac{\partial z}{\partial w}=-1.
Portanto a matriz Jacobiana (segundo a convenção do enunciado) é
J=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos o determinante de J. Vou expandir pelo desenvolvimento da primeira linha (ou usar a regra de Sarrus mentalmente) mostrando os passos:
Primeiro, escrevo a expansão pela primeira linha:
\det(J)=1\cdot\det\begin{bmatrix}-1 & 2\\[2pt]1 & -1\end{bmatrix} -3\cdot\det\begin{bmatrix}2 & 2\\[2pt]0 & -1\end{bmatrix} +0\cdot\det\begin{bmatrix}2 & -1\\[2pt]0 & 1\end{bmatrix}.
Agora calculo os determinantes 2\times2:
\det\begin{bmatrix}-1 & 2\\[2pt]1 & -1\end{bmatrix}=(-1)(-1)-2\cdot 1=1-2=-1,
\det\begin{bmatrix}2 & 2\\[2pt]0 & -1\end{bmatrix}=2\cdot(-1)-2\cdot 0=-2.
Substituindo:
\det(J)=1\cdot(-1)-3\cdot(-2)+0\cdot(\cdots)=-1+6=5.
Portanto o determinante Jacobiano é 5, como esperado.]

Passo 4

Breve comentário didático: o determinante Jacobiano mede, para transformações lineares, o fator de escala (orientado) de volumes entre os sistemas de coordenadas. Aqui ele é 5: volumes na variável (u,v,w) são multiplicados por 5 quando passamos para (x,y,z). Isso também garante que a transformação é invertível (determinante não nulo).

Passo 5

Agora vamos encontrar a mudança inversa, ou seja, resolver o sistema linear para u,v,w em função de x,y,z. Partimos das equações originais:
x = u + 2v, \qquad y = 3u - v + w, \qquad z = 2v - w.
Primeiro, isole u da primeira equação:
u = x - 2v.
Substituímos u na equação de y:
y = 3(x-2v) - v + w = 3x -6v - v + w = 3x -7v + w.
Da equação de z isolamos w:
w = 2v - z.
Substituímos essa expressão de w em (a expressão para) y:
y = 3x -7v + (2v - z) = 3x -5v - z.
Agora resolvemos para v:
-5v = y - 3x + z \quad\Rightarrow\quad v = \frac{3x - y - z}{5}.
Com v encontrado, voltamos para u:
u = x - 2v = x - 2\cdot\frac{3x - y - z}{5} = \frac{5x -6x +2y +2z}{5} = \frac{-x + 2y + 2z}{5}.
E para w:
w = 2v - z = 2\cdot\frac{3x - y - z}{5} - z = \frac{6x -2y -2z -5z}{5} = \frac{6x -2y -7z}{5}.

Passo 6

Escrevo a mudança inversa final de forma limpa:
u=\frac{-x+2y+2z}{5},\qquad v=\frac{3x-y-z}{5},\qquad w=\frac{6x-2y-7z}{5}.

Passo 7

Agora verificamos a relação entre as matrizes Jacobianas: a matriz Jacobiana da inversa (derivadas de u,v,w em relação a x,y,z) deve ser a inversa da matriz J calculada antes. Calculamos as derivadas parciais da inversa obtida:
\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{5},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2}{5},\quad \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{2}{5},
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{3}{5},\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{5},\quad \frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{5},
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{6}{5},\quad \frac{\partial w}{\partial y}=-\frac{2}{5},\quad \frac{\partial w}{\partial z}=-\frac{7}{5}.
Formando a matriz Jacobiana da inversa segundo a mesma convenção (linhas correspondendo a derivadas em relação a x,y,z das componentes u,v,w — ou seja, linha 1: derivadas em relação a x, linha 2: em relação a y, linha 3: em relação a z) obtemos
J_{\text{inv}}= \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial x}\\[4pt] \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial y}\\[4pt] \frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial v}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 6\\[4pt] 2 & -1 & -2\\[4pt] 2 & -1 & -7 \end{bmatrix}.]

Passo 8

Agora calculamos explicitamente a matriz inversa de J para comparar. Como \det(J)=5, temos J^{-1}=\dfrac{1}{5}\operatorname{adj}(J). Calculando a adjunta (matriz dos cofatores transposta) obtemos
J^{-1}=\frac{1}{5} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 6\\[4pt] 2 & -1 & -2\\[4pt] 2 & -1 & -7 \end{bmatrix}.
Este cálculo (adjunta dividido por \det) coincide exatamente com J_{\text{inv}} que encontramos calculando as derivadas da inversa.]

Passo 9

Conclusão da verificação: a matriz Jacobiana da transformação inversa coincide com a matriz inversa da Jacobiana da transformação direta. Em símbolos:
J_{\text{inv}} = J^{-1},
com \det(J)=5 e \det(J_{\text{inv}})=\dfrac{1}{5}.

Resposta

\det(J)=5
u=\dfrac{-x+2y+2z}{5},\quad v=\dfrac{3x-y-z}{5},\quad w=\dfrac{6x-2y-7z}{5}
\displaystyle J_{\text{inv}}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-1 & 3 & 6\\[4pt]2 & -1 & -2\\[4pt]2 & -1 & -7\end{bmatrix}=J^{-1}]

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