Exercício 18. *(Regra da Cadeia em mais Variáveis.) Podemos estender a regra da cadeia para três variáveis (ou até mais variáveis). Se x, y, z são substituídos por u, v, w (isto é, x=x(u, v, w), y=y(u, v, w) e z=z(u, v, w) ) então
O determinante da matriz Jacobiana é chamado determinante Jacobiano.
a) Considere a mudança de variáveis linear
x=u+2 v, \quad y=3 u-v+w, \quad z=2 v-w
Calcule o determinante Jacobiano dessa mudança de variáveis (resposta: 5). Escreva a mudança inversa (isto é, isole u, v, w em função de x, y, z ) e verifique que a matriz Jacobiana é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança de x, y, z para u, v, w.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: calular o determinante Jacobiano da mudança linear dada, escrever a mudança inversa (ou seja, isolar u,v,w em função de x,y,z) e verificar que a matriz Jacobiana da inversa é a matriz inversa da matriz Jacobiana da mudança direta.
Informações dadas (todas são relevantes):
x = u + 2v,\qquad y = 3u - v + w,\qquad z = 2v - w.
Também foi informado que a resposta esperada para o determinante é 5 (vamos confirmar isso).
A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos escrever a matriz Jacobiana da transformação (u,v,w)\mapsto(x,y,z) usando exatamente a convenção do enunciado: a matriz J tem nas linhas as derivadas em relação a u,v,w e nas colunas as derivadas das componentes x,y,z. Calculamos cada derivada parcial diretamente da definição das componentes:
Agora calculamos o determinante de J. Vou expandir pelo desenvolvimento da primeira linha (ou usar a regra de Sarrus mentalmente) mostrando os passos:
Primeiro, escrevo a expansão pela primeira linha:
Portanto o determinante Jacobiano é 5, como esperado.]
Passo 4
Breve comentário didático: o determinante Jacobiano mede, para transformações lineares, o fator de escala (orientado) de volumes entre os sistemas de coordenadas. Aqui ele é 5: volumes na variável (u,v,w) são multiplicados por 5 quando passamos para (x,y,z). Isso também garante que a transformação é invertível (determinante não nulo).
Passo 5
Agora vamos encontrar a mudança inversa, ou seja, resolver o sistema linear para u,v,w em função de x,y,z. Partimos das equações originais:
x = u + 2v, \qquad y = 3u - v + w, \qquad z = 2v - w.
Primeiro, isole u da primeira equação:
u = x - 2v.
Substituímos u na equação de y:
y = 3(x-2v) - v + w = 3x -6v - v + w = 3x -7v + w.
Da equação de z isolamos w:
w = 2v - z.
Substituímos essa expressão de w em (a expressão para) y:
y = 3x -7v + (2v - z) = 3x -5v - z.
Agora resolvemos para v:
-5v = y - 3x + z \quad\Rightarrow\quad v = \frac{3x - y - z}{5}.
Com v encontrado, voltamos para u:
u = x - 2v = x - 2\cdot\frac{3x - y - z}{5} = \frac{5x -6x +2y +2z}{5} = \frac{-x + 2y + 2z}{5}.
E para w:
w = 2v - z = 2\cdot\frac{3x - y - z}{5} - z = \frac{6x -2y -2z -5z}{5} = \frac{6x -2y -7z}{5}.
Agora verificamos a relação entre as matrizes Jacobianas: a matriz Jacobiana da inversa (derivadas de u,v,w em relação a x,y,z) deve ser a inversa da matriz J calculada antes. Calculamos as derivadas parciais da inversa obtida:
Formando a matriz Jacobiana da inversa segundo a mesma convenção (linhas correspondendo a derivadas em relação a x,y,z das componentes u,v,w — ou seja, linha 1: derivadas em relação a x, linha 2: em relação a y, linha 3: em relação a z) obtemos
Agora calculamos explicitamente a matriz inversa de J para comparar. Como \det(J)=5, temos J^{-1}=\dfrac{1}{5}\operatorname{adj}(J). Calculando a adjunta (matriz dos cofatores transposta) obtemos