(2,0) Seja f(x)=ln (e^a x-b), a neq 0, b>0.
(a) Determine a domínio de f.
Para que ln (e^a x-b) esteja bem definida em x devemos ter
e^a x-b & >0 e^a x & >b a x & >ln b x & >ln ba
Portanto o domínio de f é o intervalo (ln ba, infty).
(b) Determine f^-1(y).
(1,0)
Temos
ln (e^a x-b) & =y e^a x-b & =e^y e^a x & =e^y+b a x & =ln (e^y+b) x & =1a ln (e^y+b)
Logo f^-1(y)=1a ln (e^y+b).
(c) Justifique se f tem assíntota vertical x=ln ba.
(0,25)
Sim, pois
lim x ln ba ln (e^a x-b)=ln (e^a ln ba+-b)=ln (0^+)=-infty

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=lnl(e^a x-br),
com aneq0 e b>0, e pede:
(a) o domínio de f;
(b) a função inversa f^-1(y);
(c) justificação da existência de assíntota vertical.

Passo 2

Para determinar o domínio de f usamos que o argumento do ln deve ser positivo:
e^a x-b>0
e^a x>b
a x>ln b
Como aneq0, ao dividir por a devemos considerar o sinal de a:
se a>0, então
x>ln ba,
e se a<0, então
x<ln ba
Portanto
Dom,f= l(tfracln ba,inftyr),&a>0, (-infty,tfracln ba),&a<0

Passo 3

Para achar f^-1, seja y=f(x). Então
lnl(e^a x-br)=y
implica
e^a x-b=e^y,
e^a x=e^y+b,
a x=lnl(e^y+br),
x=1alnl(e^y+br)
Logo
f^-1(y)=1alnl(e^y+br),
válida para todo yinR, pois e^y+b>0.

Passo 4

Para verificar a assíntota vertical, consideramos o limite de f(x) quando x tende à fronteira do domínio.
Se a>0, xto(ln b)/a^+ e
limxtotfracln ba^+lnl(e^a x-br) =ln(0^+)=-infty
Se a<0, o raciocínio é análogo com xto(ln b)/a^-. Em ambos os casos há assíntota vertical em
x=ln ba

Resposta

(a)
Dom,f= l(tfracln ba,inftyr),&a>0, (-infty,tfracln ba),&a<0
(b)
f^-1(y)=1alnl(e^y+br), yinR
(c)
Sim. Há assíntota vertical em
x=ln ba,
pois limxto(ln b)/af(x)=-infty.

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