Exercício 19. (D.K. ex. 10.1) (Composição de pushforward e diferenciação parcial) Considere um mapa C^infty de um aberto X de R^n em um aberto Y de R^p. Prove que para todo j=1, ldots, n, a seguinte identidade de mapas lineares contínuos vale:
Phi* circ partialj=sumk=1^n partialk circ Phi* circ partialj Phik: E^prime(X) E^prime(Y)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
Phi*l(partialjTr) =sumk=1^npartialkl(Phi*l((partialjPhik),Tr)r) forall,TinE'(X),;j=1,dots,n,
onde Phicolon Xto Y é um mapa C^infty, Phik é a k-ésima componente de Phi, e Phi* é o pushforward em distribuições definido por
llang<=Phi*T,varphirrang<= =llang<= T,varphicircPhirrang<=,
para todo varphiin C^inftyc(Y). Também usaremos que
llang<=partialjT,psirrang<= =-llang<= T,partialjpsirrang<= forall,psiin C^inftyc(X)

Passo 2

Para começar, escolhemos varphiin C^inftyc(Y) arbitrária e calculamos
llang<= Phi*(partialjT),,varphirrang<= =llang<= partialjT,;varphicircPhirrang<= =-llang<= T,;partialj(varphicircPhi)rrang<=

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia ao termo partialj(varphicircPhi). Como Phi=(Phi1,dots,Phin),
partialj(varphicircPhi)(x) =sumk=1^n l(partialkvarphir)!l(Phi(x)r);partialjPhik(x)

Passo 4

Substituindo na expressão do passo anterior,
llang<= Phi*(partialjT),,varphirrang<= =-sumk=1^n llang<= T,; l(partialkvarphir)circPhi;cdotpartialjPhik rrang<=

Passo 5

Definimos para cada k a distribuição em X
Sk:=(partialjPhik),T,
ou seja lang<= Sk,psirang<==lang<= T,(partialjPhik),psirang<=. Então
llang<= Phi*(partialjT),,varphirrang<= =-sumk=1^n llang<= T,; l(partialkvarphir)circPhi;partialjPhik rrang<= =-sumk=1^n llang<= Sk,; (partialkvarphi)circPhi rrang<=

Passo 6

Usando agora a definição de pushforward e de derivada parcial em Y, temos
llang<= Sk,;(partialkvarphi)circPhirrang<= =llang<= Phi*Sk,;partialkvarphirrang<= =-llang<= partialk(Phi*Sk),;varphirrang<=
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llang<= Phi*(partialjT),,varphirrang<= =sumk=1^n llang<= partialk(Phi*Sk),,varphirrang<= =llang<= sumk=1^npartialkl(Phi*((partialjPhik),T)r), ;varphi rrang<=
Como isso vale para todo varphi, obtemos a identidade desejada.

Resposta

Phi*circ partialj =sumk=1^npartialkcirc Phi*circ (partialjPhik) ;:;E'(X)toE'(Y)

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