Exercício 19. (D.K. ex. 10.1) (Composição de pushforward e diferenciação parcial) Considere um mapa
de um aberto
de
em um aberto
de
. Prove que para todo
, a seguinte identidade de mapas lineares contínuos vale:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
onde
é um mapa
,
é a
-ésima componente de
, e
é o pushforward em distribuições definido por
para todo
. Também usaremos que
Passo 2
Para começar, escolhemos
arbitrária e calculamos
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia ao termo
. Como
,
Passo 4
Substituindo na expressão do passo anterior,
Passo 5
Definimos para cada
a distribuição em
ou seja
. Então
Passo 6
Usando agora a definição de pushforward e de derivada parcial em
, temos
Logo
Como isso vale para todo
, obtemos a identidade desejada.