Exercício 20. (D.K. ex. 4.1 e 4.2) Prove que: , em que sign ( ) é a função igual a 1 se e a -1 se .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a derivada da função valor absoluto
é a função sinal , definida por
O conteúdo é cálculo de derivada de função definida por partes; vamos usar a definição de valor absoluto e as regras básicas de derivação em cada ramo.
Passo 2
Reescrevemos lvert xrvert de forma piecewise:
lvert xrvert= x,&x>=0, -,x,&x<0
Nesse formato, cada ramo é uma função polinomial simples, cuja derivada a gente já conhece.
Passo 3
Para x>0 temos lvert xrvert = x. Aplicando a regra de derivada de identidade,
ddxlvert xrvert =ddx(x) =1
Como sign(x)=1 para todo x>0, coincide com o valor encontrado.
Passo 4
Para x<0 temos lvert xrvert = -,x. Usando a regra de derivação de constante vezes função,
ddxlvert xrvert =ddx(-x) =-1
E de fato sign(x)=-1 quando x<0, logo batem.
Passo 5
Em x=0 os limites laterais da derivada são diferentes: