Exercício 20. (D.K. ex. 4.1 e 4.2) Prove que:
dd x|x|=sign(x), em que sign ( x ) é a função igual a 1 se x >= 0 e a -1 se x<0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a derivada da função valor absoluto
lvert xrvert
é a função sinal
sign(x), definida por
sign(x)= 1,&x>=0, -1,&x<0
O conteúdo é cálculo de derivada de função definida por partes; vamos usar a definição de valor absoluto e as regras básicas de derivação em cada ramo.

Passo 2

Reescrevemos lvert xrvert de forma piecewise:
lvert xrvert= x,&x>=0, -,x,&x<0
Nesse formato, cada ramo é uma função polinomial simples, cuja derivada a gente já conhece.

Passo 3

Para x>0 temos lvert xrvert = x. Aplicando a regra de derivada de identidade,
ddxlvert xrvert =ddx(x) =1
Como sign(x)=1 para todo x>0, coincide com o valor encontrado.

Passo 4

Para x<0 temos lvert xrvert = -,x. Usando a regra de derivação de constante vezes função,
ddxlvert xrvert =ddx(-x) =-1
E de fato sign(x)=-1 quando x<0, logo batem.

Passo 5

Em x=0 os limites laterais da derivada são diferentes:
limhto0^+lvert0+hrvert-lvert0rverth =limhto0^+hh=1, limhto0^-lvert0+hrvert-lvert0rverth =limhto0^--hh=-1
Como esses dois limites não coincidem, lvert xrvert não é diferenciável em x=0.

Resposta

ddxlvert xrvert =sign(x), xneq0,
isto é, vale 1 para x>0 e -1 para x<0.
Em x=0 a derivada não existe.

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