Exercício 19 (D.L. 4.7)
Seja x: I R^n uma solução máxima não constante de x^prime=f(x). Mostre que se x não for injetora, então:
  1. O intervalo máximo da solução é R.
  2. Existe uma constante T>0 tal que x(t+T)=x(t) para todo t in R.
Uma solução com as propriedades acima é chamada de periódica.

Passo 1

O enunciado pede para uma solução máxima não–constante xcolon Ito R^n de
x' = f(x)
que não seja injetora mostrarmos duas coisas:
  1. I= R.
  2. T>0 com x(t+T)=x(t) para todo t.
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade (para comparar duas soluções com mesmo valor inicial), o fato de que soluções máximas só deixam de existir se explodirem em norma, e o argumento clássico de deslocamento para provar periodicidade.

Passo 2

Como x não é injetora, existem instantes t1<t2 em I tais que
x(t1)=x(t2)
Defina
T ;=; t2 - t1 ;>; 0

Passo 3

Considere a função deslocada
y(t) ;=; x(t + T)
Então y também satisfaz y'=f(y), mas num intervalo I - T = ,t mid t+Tin I. Note ainda que
y(t1) ;=; x(t1 + T) ;=; x(t2) ;=; x(t1)
Logo x e y são duas soluções do mesmo valor inicial em t1, e pelo Teorema de Unicidade elas coincidem em todo o domínio comum Icap (I - T). Assim
x(t) ;=; y(t) ;=; x(t+T),
para todo tin Icap (I-T). Iterando para kin Z em vez de 1, temos
x(t + kT) ;=; x(t)
sempre que t + kTin I. Isso mostra que x é periódica de período T.

Passo 4

Periodicidade implica que x(t)colon tin I é um subconjunto compacto de R^n, logo x(t) é limitada em todo I. Mas o único obstáculo para uma solução máxima não se estender além de uma fronteira finita de I é a explosão de |x(t)|. Como não há explosão (a norma fica limitada), podemos prolongar x indefinidamente para a direita e para a esquerda. Da maximalidade segue-se que
I = R

Resposta

  1. O intervalo máximo de definição é I= R.
  2. Existe T=t2-t1>0 tal que
x(t+T)=x(t)
para todo tin R, ou seja, x é periódica de período T.

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