Exercício 19 (D.L. 4.7)
Seja
uma solução máxima não constante de
. Mostre que se
não for injetora, então:
- O intervalo máximo da solução é
.
- Existe uma constante
tal que
para todo
.
Uma solução com as propriedades acima é chamada de periódica.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para uma solução máxima não–constante
de
que não seja injetora mostrarmos duas coisas:
-
. - Há
com para todo .
Vamos usar o Teorema de Existência e Unicidade (para comparar duas soluções com mesmo valor inicial), o fato de que soluções máximas só deixam de existir se explodirem em norma, e o argumento clássico de deslocamento para provar periodicidade.
Passo 2
Como
não é injetora, existem instantes
em
tais que
Defina
Passo 3
Considere a função deslocada
Então
também satisfaz
, mas num intervalo
. Note ainda que
Logo
e
são duas soluções do mesmo valor inicial em
, e pelo Teorema de Unicidade elas coincidem em todo o domínio comum
. Assim
para todo
. Iterando para
em vez de
, temos
sempre que
. Isso mostra que
é periódica de período
.
Passo 4
Periodicidade implica que
é um subconjunto compacto de
, logo
é limitada em todo
. Mas o único obstáculo para uma solução máxima não se estender além de uma fronteira finita de
é a explosão de
. Como não há explosão (a norma fica limitada), podemos prolongar
indefinidamente para a direita e para a esquerda. Da maximalidade segue-se que
Resposta
- O intervalo máximo de definição é
. - Existe
tal que
para todo
, ou seja,
é periódica de período
.