Q 112 Derive cada uma das funções abaixo:
f(x)=e^x cos (x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=e^xcos x
O que vamos usar aqui é a regra da cadeia para exponencial composta e, dentro dela, a regra do produto para derivar xcos x.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=xcos x
Para derivar u(x) usamos a regra do produto: se u(x)=v(x),w(x), então
u'(x)=v'(x),w(x)+v(x),w'(x)
Aqui v(x)=x e w(x)=cos x, portanto
v'(x)=1, w'(x)=-sin x
e assim
u'(x)=1cdotcos x + xcdot(-sin x) =cos x - xsin x

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia à função f(x)=e^u(x). A derivada de e^u(x) é
f'(x)=e^u(x),u'(x)
Substituindo u(x)=xcos x e u'(x)=cos x - xsin x, obtemos a derivada de f.

Resposta

f'(x)=e^xcos xl(cos x - xsin xr)

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