Exercício 19. Determine as equações paramétricas e reduzidas obtidas da interseção dos pla nos pi1: 5 x-y+z-5=0 e pi2: x+y+2 z-7=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta de interseção entre os planos
pi1:5x - y + z - 5 = 0 e pi2:x + y + 2z - 7 = 0.
Conteúdo: interseção de dois planos em R^3 resulta numa reta, que podemos obter resolvendo o sistema linear e expressando as variáveis em função de um parâmetro.

Passo 2

Escolhemos z como parâmetro, digamos z = t.
Da equação de pi1:
5x - y + z - 5 = 0 Longrightarrow 5x - y = 5 - z Longrightarrow y = 5x - 5 + t
Da equação de pi2:
x + y + 2z - 7 = 0 Longrightarrow x + y = 7 - 2t
Substituindo y na segunda:
x + l(5x - 5 + tr) = 7 - 2t ;Longrightarrow; 6x + t - 5 = 7 - 2t ;Longrightarrow; 6x = 12 - 3t ;Longrightarrow; x = 2 - tfrac12,t
Então
y = 5l(2 - tfrac12,tr) - 5 + t = 10 - tfrac52,t - 5 + t = 5 - tfrac32,t

Passo 3

As equações paramétricas da reta são
x = 2 - tfrac12,t, y = 5 - tfrac32,t, z = t,
com parâmetro tin R.

Passo 4

Para obter a forma reduzida (simbólica), escrevemos
x - 2-,tfrac12 = y - 5-,tfrac32 = z - 01
e multiplicamos numerador e denominador dos dois primeiros por 2, obtendo
x - 2-1 = y - 5-3 = z2

Resposta

Equações paramétricas:
x = 2 - tfrac12,t, y = 5 - tfrac32,t, z = t, tin R
Equação reduzida:
x - 2-1 = y - 5-3 = z2

Exercícios relacionados