Prove usando a definição que
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{1}{(x+3)^{4}}=+\infty

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite infinito, que
\lim_{x\to -3}\frac{1}{(x+3)^{4}} = +\infty.
Isto significa que devemos provar: para todo M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x+3|<\delta, então
\frac{1}{(x+3)^{4}} > M.

Passo 2

Observação crucial: (x+3)^{4} é sempre positivo para x\neq -3. Logo
\frac{1}{(x+3)^{4}} > 0
e, quanto menor |x+3|, menor será (x+3)^{4}, fazendo crescer o valor de \tfrac1{(x+3)^4}.

Passo 3

Seja M>0. Queremos escolher \delta>0 de modo que, sempre que 0<|x+3|<\delta, tenhamos
\frac{1}{(x+3)^{4}} > M.
Basta garantir
(x+3)^{4} < \frac{1}{M}.
Como |x+3|<\delta implica (x+3)^{4}<\delta^{4}, basta tomar
\delta = M^{-\tfrac14}.
Então, para esse \delta, sempre que 0<|x+3|<\delta segue
(x+3)^{4} < \delta^{4} = \frac{1}{M} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{(x+3)^{4}} > M.

Resposta

Dessa forma, pela definição de limite infinito, mostramos que
\lim_{x\to -3}\frac{1}{(x+3)^{4}} = +\infty.

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