Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em x0 dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida:
f(x)=e^-x como série de Maclaurin ( x0=0 )

Passo 1

O enunciado pede para representar a função f(x)=e^-x como série de Maclaurin, ou seja, como uma série de potências em torno de x0=0, e em seguida determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar a definição de série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) e depois aplicar o teste da razão para achar onde ela converge.

Passo 2

A definição de série de Maclaurin para uma função f é
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n,
desde que todas as derivadas existam em zero. Então precisamos calcular f^(n)(0) para f(x)=e^-x.

Passo 3

Vamos achar a n-ésima derivada de f(x)=e^-x. Observe que
f'(x) = -e^-x, f''(x)=(-1)^2e^-x, f^(3)(x)=(-1)^3e^-x,; ldots,; f^(n)(x)=(-1)^n e^-x
Em particular, em x=0 temos
f^(n)(0)=(-1)^n e^0=(-1)^n

Passo 4

Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, obtemos
e^-x = sumn=0^infty (-1)^nn!,x^n

Passo 5

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão a an = (-1)^nn!x^n:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |(-1)^n+1x^n+1/(n+1)!(-1)^n x^n/n!| = limntoinfty |x|n+1 = 0
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, a série converge para todos os valores de x.

Resposta

e^-x = sumn=0^infty (-1)^nn!,x^n,
Intervalo de convergência: (-infty,infty).

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