Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida: como série de Maclaurin ( )
Passo 1
O enunciado pede para representar a função como série de Maclaurin, ou seja, como uma série de potências em torno de , e em seguida determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar a definição de série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) e depois aplicar o teste da razão para achar onde ela converge.
Passo 2
A definição de série de Maclaurin para uma função é
desde que todas as derivadas existam em zero. Então precisamos calcular para .
Passo 3
Vamos achar a -ésima derivada de . Observe que
Em particular, em temos
Passo 4
Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, obtemos
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão a :
Como esse limite é 0<1 para todo xinR, a série converge para todos os valores de x.