Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
O que é pedido:
- Inverter a ordem de integração, isto é, escrever a mesma integral na forma
. - Calcular a área da região de integração (a área de
, sendo a função integrada igual a ).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável externa vai de
até . - Para cada
fixo em , varia de até .
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região
descrita por essas desigualdades. A descrição dada é
As curvas que delimitam
são
- a curva da esquerda:
, - a curva da direita:
.
Para inverter a ordem, precisamos, para um
fixo, achar os valores de
que satisfazem simultaneamente
e
. Vamos reescrever essas desigualdades isolando
em função de
.
Passo 3
Transformando as desigualdades:
-
com é equivalente a (tomando a raiz cúbica, função monótona crescente para ). -
com é equivalente a (elevando ao quadrado, válido porque ).
Portanto, para um
fixo, os
admissíveis satisfazem
Agora precisamos determinar para quais
esse intervalo em
é não vazio, isto é, quando
.
Resolvendo para
: escrevendo
e, para
, tomando logaritmos ou reorganizando em potências, obtemos
Resolvendo
Além disso, olhando para a região original (onde
e
entre
e
), fica evidente que
também está entre
e
. Logo o domínio em
é
.
Passo 4
Assim, a integral com ordem invertida fica
Explicando verbalmente: para cada
a variável
varia da curva inferior
até a curva superior
.
Passo 5
Agora calculamos a área da região
. A área é a integral dupla de
sobre
. Podemos calcular usando a ordem original (integrando em
primeiro) ou a ordem invertida (integrando em
primeiro); ambas dão o mesmo resultado. Usando a ordem original:
Passo 6
Calculemos a integral passo a passo. Primeiro a primitiva de
:
Depois a primitiva de
:
Aplicando os limites de
a
:
Colocando em denominador comum: