Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
\int_{0}^{1}\left[\int_{y^{3}}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x\right] d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{y^{3}}^{\sqrt{y}} f(x, y)\,dx\right]dy.
O que é pedido:
  • Inverter a ordem de integração, isto é, escrever a mesma integral na forma \displaystyle\int_{x=a}^{b}\left[\int_{y=\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y)\,dy\right]dx.
  • Calcular a área da região de integração (a área de R, sendo a função integrada igual a 1).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável externa vai de y=0 até y=1.
  • Para cada y fixo em [0,1], x varia de x=y^{3} até x=\sqrt{y}.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região R descrita por essas desigualdades. A descrição dada é
R=\{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\; y^{3}\le x\le \sqrt{y}\}.
As curvas que delimitam R são
  • a curva da esquerda: x=y^{3},
  • a curva da direita: x=\sqrt{y}.
Para inverter a ordem, precisamos, para um x fixo, achar os valores de y que satisfazem simultaneamente y^{3}\le x e x\le \sqrt{y}. Vamos reescrever essas desigualdades isolando y em função de x.

Passo 3

Transformando as desigualdades:
  • y^{3}\le x com y\ge 0 é equivalente a y\le x^{1/3} (tomando a raiz cúbica, função monótona crescente para y\ge0).
  • x\le \sqrt{y} com x\ge 0 é equivalente a x^{2}\le y (elevando ao quadrado, válido porque x,\sqrt{y}\ge0).
Portanto, para um x fixo, os y admissíveis satisfazem
x^{2}\le y\le x^{1/3}.
Agora precisamos determinar para quais x esse intervalo em y é não vazio, isto é, quando x^{2}\le x^{1/3}.
Resolvendo x^{2}\le x^{1/3} para x\ge 0: escrevendo x^{2}-x^{1/3}\le 0 e, para x>0, tomando logaritmos ou reorganizando em potências, obtemos
x^{2}\le x^{1/3}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2-\tfrac{1}{3}}\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{5/3}\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0\le x\le 1.
Além disso, olhando para a região original (onde y\in[0,1] e x entre y^3 e \sqrt y), fica evidente que x também está entre 0 e 1. Logo o domínio em x é [0,1].

Passo 4

Assim, a integral com ordem invertida fica
\int_{x=0}^{1}\left[\int_{y=x^{2}}^{y=x^{1/3}} f(x,y)\,dy\right]dx.
Explicando verbalmente: para cada x\in[0,1] a variável y varia da curva inferior y=x^{2} até a curva superior y=x^{1/3}.

Passo 5

Agora calculamos a área da região R. A área é a integral dupla de 1 sobre R. Podemos calcular usando a ordem original (integrando em x primeiro) ou a ordem invertida (integrando em y primeiro); ambas dão o mesmo resultado. Usando a ordem original:
\text{Área}(R)=\int_{y=0}^{1}\bigl(\sqrt{y}-y^{3}\bigr)\,dy.Á

Passo 6

Calculemos a integral passo a passo. Primeiro a primitiva de \sqrt{y}=y^{1/2}:
\int y^{1/2}\,dy=\frac{y^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}y^{3/2}.
Depois a primitiva de y^{3}:
\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}.
Aplicando os limites de 0 a 1:
\text{Área}(R)=\left[\frac{2}{3}y^{3/2}-\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{3}-\frac{1}{4}.Á
Colocando em denominador comum:
\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{x^{1/3}} f(x,y)\,dy\right]dx
\displaystyle \text{Área}(R)=\frac{5}{12}Á

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