Sejam as funções:
Obtenha as seguintes novas funções:
Passo 1
O enunciado dá quatro funções e pede várias composições entre elas. Dados (copiados do enunciado):
As funções que precisamos obter são, nesta ordem:
Passo 2
Calcular
. Substituir
em
:
Agora colocar a expressão de
:
Distribuir o
e somar
:
Portanto
Passo 3
Calcular
. Substituir
em
:
Colocar
:
Expandir o quadrado e o produto:
Somando tudo:
Simplificar termos semelhantes:
Passo 4
Calcular
. Substituir
em
:
Colocar
:
Expandir o quadrado. Usar as identidades
e
:
Substituindo:
Agrupar constantes:
Passo 5
Calcular
. É apenas substituição direta em
:
Colocando
:
Passo 6
Calcular
. Substituir
em
:
Escrever tudo sobre o mesmo denominador
:
Somando os numeradores:
Expandir cada termo:
Somando:
Logo
Fatorando um
:
Passo 7
Calcular
. Substituir
em
:
Simplificar os números:
Passo 8
Calcular
(quatro composições de
). Fazer passo a passo:
Primeira composição:
Segunda:
Terceira (quarta aplicação no total):
Passo 9
Calcular
. Fazer passo a passo com escrita explícita (não há simplificação algébrica fechada):
Primeira composição:
Aplicando
novamente:
Ou, explicitando
no lugar de
:
Passo 10
Calcular
. Primeiro observar
. Seja
. Então
Colocar no mesmo denominador
:
Como
, segue que
Ou seja,
é involutiva e
.