Sejam as funções:
\begin{aligned} f(x) & =3 x+7 \\\ g(x) & =x^{2}-7 x+10 \\\ h(x) & =\operatorname{sen}(x)+\cos (x) \\\ k(x) & =\frac{x+1}{x-1} \end{aligned}
Obtenha as seguintes novas funções:
\begin{aligned} & f(g(x)) \\\ & g(f(x)) \\\ & g(h(x)) \\\ & h(g(x)) \\\ & g(k(x)) \\\ & k(g(x)) \\\ & f(f(f(f(x))))) \\\ & h(h(h(x)))) \\\ & k(k(k(x))) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá quatro funções e pede várias composições entre elas. Dados (copiados do enunciado):
\begin{aligned} f(x) &= 3x+7,\\\ g(x) &= x^{2}-7x+10,\\\ h(x) &= \operatorname{sen}(x)+\cos(x),\\\ k(x) &= \dfrac{x+1}{x-1}. \end{aligned}
As funções que precisamos obter são, nesta ordem:
\begin{aligned} &f(g(x)),\\\ &g(f(x)),\\\ &g(h(x)),\\\ &h(g(x)),\\\ &g(k(x)),\\\ &k(g(x)),\\\ &f(f(f(f(x)))) ,\\\ &h(h(h(x))) ,\\\ &k(k(k(x))). \end{aligned}

Passo 2

Calcular f(g(x)). Substituir g(x) em f:
f(g(x))=3\bigl(g(x)\bigr)+7.
Agora colocar a expressão de g(x):
f(g(x))=3\bigl(x^{2}-7x+10\bigr)+7.
Distribuir o 3 e somar 7:
f(g(x))=3x^{2}-21x+30+7.
Portanto
f(g(x))=3x^{2}-21x+37.

Passo 3

Calcular g(f(x)). Substituir f(x) em g:
g(f(x))=\bigl(f(x)\bigr)^{2}-7\,f(x)+10.
Colocar f(x)=3x+7:
g(f(x))=(3x+7)^{2}-7(3x+7)+10.
Expandir o quadrado e o produto:
(3x+7)^{2}=9x^{2}+42x+49, \qquad -7(3x+7)=-21x-49.
Somando tudo:
g(f(x))=9x^{2}+42x+49-21x-49+10.
Simplificar termos semelhantes:
g(f(x))=9x^{2}+21x+10.

Passo 4

Calcular g(h(x)). Substituir h(x) em g:
g(h(x))=\bigl(h(x)\bigr)^{2}-7\,h(x)+10.
Colocar h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x):
g(h(x))=\bigl(\operatorname{sen}(x)+\cos(x)\bigr)^{2}-7\bigl(\operatorname{sen}(x)+\cos(x)\bigr)+10.
Expandir o quadrado. Usar as identidades \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1 e 2\operatorname{sen}x\cos x=\operatorname{sen}(2x):
\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr)^{2}=\operatorname{sen}^{2}x+2\operatorname{sen}x\cos x+\cos^{2}x=1+\operatorname{sen}(2x).
Substituindo:
g(h(x))=1+\operatorname{sen}(2x)-7\operatorname{sen}(x)-7\cos(x)+10.
Agrupar constantes:
g(h(x))=11+\operatorname{sen}(2x)-7\operatorname{sen}(x)-7\cos(x).

Passo 5

Calcular h(g(x)). É apenas substituição direta em h:
h(g(x))=\operatorname{sen}\bigl(g(x)\bigr)+\cos\bigl(g(x)\bigr).
Colocando g(x)=x^{2}-7x+10:
h(g(x))=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-7x+10\bigr)+\cos\bigl(x^{2}-7x+10\bigr).

Passo 6

Calcular g(k(x)). Substituir k(x) em g:
g(k(x))=\bigl(k(x)\bigr)^{2}-7\,k(x)+10, \qquad k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}.
Escrever tudo sobre o mesmo denominador (x-1)^{2}:
\bigl(k(x)\bigr)^{2}=\dfrac{(x+1)^{2}}{(x-1)^{2}}, \qquad -7k(x)=-7\dfrac{x+1}{x-1}=-7\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}},
10=10\dfrac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}.
Somando os numeradores:
\text{num}= (x+1)^{2}-7(x+1)(x-1)+10(x-1)^{2}.
Expandir cada termo:
(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, \quad -7(x+1)(x-1)=-7(x^{2}-1)=-7x^{2}+7,
10(x-1)^{2}=10(x^{2}-2x+1)=10x^{2}-20x+10.
Somando:
\text{num}=x^{2}+2x+1-7x^{2}+7+10x^{2}-20x+10=4x^{2}-18x+18.
Logo
g(k(x))=\dfrac{4x^{2}-18x+18}{(x-1)^{2}}.
Fatorando um 2:
g(k(x))=\dfrac{2\bigl(2x^{2}-9x+9\bigr)}{(x-1)^{2}} =\dfrac{2(2x-3)(x-3)}{(x-1)^{2}}.

Passo 7

Calcular k(g(x)). Substituir g(x) em k:
k(g(x))=\dfrac{g(x)+1}{g(x)-1}=\dfrac{x^{2}-7x+10+1}{x^{2}-7x+10-1}.
Simplificar os números:
k(g(x))=\dfrac{x^{2}-7x+11}{x^{2}-7x+9}.

Passo 8

Calcular f(f(f(f(x)))) (quatro composições de f). Fazer passo a passo:
f(x)=3x+7.
Primeira composição:
f(f(x))=3(3x+7)+7=9x+21+7=9x+28.
Segunda:
f(f(f(x)))=3(9x+28)+7=27x+84+7=27x+91.
Terceira (quarta aplicação no total):
f(f(f(f(x))))=3(27x+91)+7=81x+273+7=81x+280.

Passo 9

Calcular h(h(h(x))). Fazer passo a passo com escrita explícita (não há simplificação algébrica fechada):
h(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x).
Primeira composição:
h(h(x))=\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr)+\cos\bigl(\operatorname{sen}x+\cos x\bigr).
Aplicando h novamente:
h(h(h(x)))=\operatorname{sen}\bigl(h(h(x))\bigr)+\cos\bigl(h(h(x))\bigr).
Ou, explicitando h(h(x)) no lugar de h(h(x)):
h(h(h(x)))=\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}x+\cos x)+\cos(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr) +\cos\bigl(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}x+\cos x)+\cos(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr).

Passo 10

Calcular k(k(k(x))). Primeiro observar k(k(x)). Seja u=k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}. Então
k(k(x))=k(u)=\dfrac{u+1}{u-1}=\dfrac{\dfrac{x+1}{x-1}+1}{\dfrac{x+1}{x-1}-1}.
Colocar no mesmo denominador (x-1):
k(k(x))=\dfrac{\dfrac{x+1+x-1}{x-1}}{\dfrac{x+1-x+1}{x-1}}=\dfrac{\dfrac{2x}{x-1}}{\dfrac{2}{x-1}}=\dfrac{2x}{2}=x.
Como k(k(x))=x, segue que
k(k(k(x)))=k\bigl(k(k(x))\bigr)=k(x).
Ou seja, k é involutiva e k^{3}(x)=k(x)=\dfrac{x+1}{x-1}.

Resposta

3x^{2}-21x+37
9x^{2}+21x+10
11+\operatorname{sen}(2x)-7\operatorname{sen}(x)-7\cos(x)
\operatorname{sen}\bigl(x^{2}-7x+10\bigr)+\cos\bigl(x^{2}-7x+10\bigr)
\dfrac{4x^{2}-18x+18}{(x-1)^{2}}=\dfrac{2(2x-3)(x-3)}{(x-1)^{2}}
\dfrac{x^{2}-7x+11}{x^{2}-7x+9}
81x+280
\operatorname{sen}\bigl(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}x+\cos x)+\cos(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr)+\cos\bigl(\operatorname{sen}(\operatorname{sen}x+\cos x)+\cos(\operatorname{sen}x+\cos x)\bigr)
\dfrac{x+1}{x-1}

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