Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\operatorname{tg}(x)} f(x, y) d y\right] d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral iterada
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\tan(x)} f(x,y)\,dy\right]dx.
O que o problema pede:
  • Inverter a ordem de integração, isto é, escrever a integral na forma \displaystyle\int_{y=\_}^{y=\_}\left[\int_{x=\_}^{x=\_} f(x,y)\,dx\right]dy.
  • Calcular a área da região de integração (ou seja, a área da região R do plano que é integrada).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • x varia de 0 até \frac{\pi}{4}.
  • Para cada x fixo, y varia de 0 até \tan(x).
  • Portanto a região R é o conjunto de pontos (x,y) tais que 0 \le x \le \frac{\pi}{4},\qquad 0 \le y \le \tan(x).

Passo 2

Entender geometricamente a região R. Vou descrever R com palavras simples:
  • Para cada abscissa x entre 0 e \frac{\pi}{4}, a ordenada y vai do eixo y=0 até a curva y=\tan(x).
  • Assim R é a região sob a curva y=\tan(x), entre x=0 e x=\frac{\pi}{4}, e acima do eixo y=0.
Valores-chave da função \tan que vamos usar (pegos do enunciado / conhecimento básico):
  • \tan(0)=0.
  • \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1.
    Logo a curva y=\tan(x) sobe de 0 até 1 quando x vai de 0 até \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Encontrar os limites quando trocamos a ordem de integração.
Queremos escrever R como \{(x,y) : y_{\min}\le y\le y_{\max},\\ x_{\min}(y)\le x\le x_{\max}(y)\}.
Primeiro o intervalo possível para y. Como, ao longo de R, y vai de 0 até \tan(x) e \tan(x) atinge valores entre 0 e 1 no intervalo dado de x, então os valores de y em R são
0 \le y \le 1.
Agora, para um y fixo com 0\le y\le 1, quais são os x em R? Precisamos dos x tais que
0 \le x \le \frac{\pi}{4}\quad\text{e}\quad 0 \le y \le \tan(x).
A desigualdade y \le \tan(x) pode ser invertida para x usando a função inversa da tangente, \arctan. Como \tan(x) é estritamente crescente em [0,\tfrac{\pi}{4}], temos
y \le \tan(x)\quad\Longleftrightarrow\quad x \ge \arctan(y).
Juntando isso com x\le\frac{\pi}{4}, para cada y\in[0,1] os x válidos são
\arctan(y) \le x \le \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Escrever a integral com a ordem invertida.
Com os limites encontrados, a integral original
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\tan(x)} f(x,y)\,dy\right]dx
pode ser escrita como
\int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan(y)}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)\,dx\right]dy.
Isso é a inversão pedida: o novo limite externo é y\in[0,1] e, para cada y, x vai de x=\arctan(y) até x=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Calcular a área da região R usando a ordem original (mais direto).
A área de R é a integral dupla de 1 sobre R. Usando a ordem dada originalmente:
\text{Área}(R)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\tan(x)} 1\,dy\right]dx.Á
A integral interna é simples:
\int_{0}^{\tan(x)} 1\,dy = \tan(x).
Logo
\text{Área}(R)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x)\,dx.Á
Agora precisamos da primitiva de \tan(x). Lembrete prático (com demonstração curta): \tan(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Fazendo a substituição u=\cos x du=-\sin x\,dx, portanto
\int \tan(x)\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{1}{u}\,du = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x|+C.
Aplicando nos limites:
\text{Área}(R)=\bigl[-\ln|\cos x|\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\ln\!\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{4}\bigr) + \ln\!\bigl(\cos 0\bigr).Á
Usando \cos\!\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2} e \cos 0=1, obtemos
\text{Área}(R) = -\ln\!\bigl(2^{-1/2}\bigr) + \ln(1) = -\bigl(-\tfrac{1}{2}\ln 2\bigr) + 0 = \tfrac{1}{2}\ln 2.Á

Passo 6

Verificação alternativa (usando a ordem invertida) — útil para fixar a ideia.
Pela integral invertida encontrada no Passo 4, a área é também
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan(y)}^{\frac{\pi}{4}} 1\,dx\right]dy = \int_{0}^{1}\Bigl(\frac{\pi}{4}-\arctan(y)\Bigr)dy.Á
Calcular \int_{0}^{1}\arctan(y)\,dy. Uma primitiva conhecida (obtida por integração por partes) é
\int \arctan(y)\,dy = y\arctan(y) - \tfrac{1}{2}\ln(1+y^{2}) + C.
Assim
\int_{0}^{1}\arctan(y)\,dy = \bigl[y\arctan(y)-\tfrac{1}{2}\ln(1+y^{2})\bigr]_{0}^{1} = \Bigl(1\cdot\frac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}\ln 2\Bigr) - 0 = \frac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}\ln 2.
Portanto
\text{Área}(R)=\int_{0}^{1}\frac{\pi}{4}\,dy - \int_{0}^{1}\arctan(y)\,dy = \frac{\pi}{4}\cdot 1 - \Bigl(\frac{\pi}{4}-\tfrac{1}{2}\ln 2\Bigr) = \tfrac{1}{2}\ln 2,Á
confirmando o resultado do Passo 5.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\int_{\arctan(y)}^{\frac{\pi}{4}} f(x,y)\,dx\right]dy\n \displaystyle \tfrac{1}{2}\ln 2

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