Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral iterada
O que o problema pede:
- Inverter a ordem de integração, isto é, escrever a integral na forma
. - Calcular a área da região de integração (ou seja, a área da região
do plano que é integrada).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
-
varia de até . - Para cada
fixo, varia de até . - Portanto a região
é o conjunto de pontos tais que
Passo 2
Entender geometricamente a região
. Vou descrever
com palavras simples:
- Para cada abscissa
entre e , a ordenada vai do eixo até a curva . - Assim
é a região sob a curva , entre e , e acima do eixo .
Valores-chave da função
que vamos usar (pegos do enunciado / conhecimento básico):
-
. -
.
Logo a curvasobe de até quando vai de até .
Passo 3
Encontrar os limites quando trocamos a ordem de integração.
Queremos escrever
como
.
Primeiro o intervalo possível para
. Como, ao longo de
,
vai de
até
e
atinge valores entre
e
no intervalo dado de
, então os valores de
em
são
Agora, para um
fixo com
, quais são os
em
? Precisamos dos
tais que
A desigualdade
pode ser invertida para
usando a função inversa da tangente,
. Como
é estritamente crescente em
, temos
Juntando isso com
, para cada
os
válidos são
Passo 4
Escrever a integral com a ordem invertida.
Com os limites encontrados, a integral original
pode ser escrita como
Isso é a inversão pedida: o novo limite externo é
e, para cada
,
vai de
até
.
Passo 5
Calcular a área da região
usando a ordem original (mais direto).
A área de
é a integral dupla de
sobre
. Usando a ordem dada originalmente:
A integral interna é simples:
Logo
Agora precisamos da primitiva de
. Lembrete prático (com demonstração curta):
. Fazendo a substituição
dá
, portanto
Aplicando nos limites:
Usando
e
, obtemos
Passo 6
Verificação alternativa (usando a ordem invertida) — útil para fixar a ideia.
Pela integral invertida encontrada no Passo 4, a área é também
Calcular
. Uma primitiva conhecida (obtida por integração por partes) é
Assim
Portanto
confirmando o resultado do Passo 5.