Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração.
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln (y)}^{y} f(x, y) d x\right] d y

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln(y)}^{y} f(x,y)\,dx\right]dy
e pede duas coisas:
  • inverter a ordem de integração (escrever a integral como \displaystyle \int_{x=\dots}^{\dots}\int_{y=\dots}^{\dots} f(x,y)\,dy\,dx, possivelmente com soma de integrais se for necessário);
  • calcular a área da região de integração.
Informações relevantes fornecidas:
  • a variável externa y varia em \displaystyle 1\le y\le e;
  • para cada y fixo, a variável x varia em \displaystyle \ln(y)\le x\le y.

Passo 2

Descrever a região R no plano (x,y) usando as desigualdades dadas. A partir da integral original temos
R=\{(x,y)\mid 1\le y\le e,\\ \ln(y)\le x\le y\}.
Isto significa que um ponto (x,y) pertence a R se satisfizer simultaneamente:
  • \displaystyle y\in[1,e],
  • \displaystyle x\ge \ln(y),
  • \displaystyle x\le y.
Estas três desigualdades podem ser reescritas, isolando y em função de x, para permitir inverter a ordem de integração.

Passo 3

Transformar as condições para obter os limites em y como função de x.
Das desigualdades \ln(y)\le x e x\le y obtemos, respectivamente,
y\le e^{x} \qquad\text{e}\qquad y\ge x.
Reunindo com 1\le y\le e, para um dado x válido precisamos ter
y\in[\max(x,1),\min(e^{x},e)].
Agora determinamos para quais valores de x esse intervalo não é vazio, ou seja, \max(x,1)\le\min(e^{x},e).
Analisar em pedaços por causa dos “máx” e “mín”:
  • Se x<0: então e^{x}<1, logo \min(e^{x},e)=e^{x}<1 e \max(x,1)=1, portanto 1>\!e^{x} e o intervalo está vazio. Logo não há x<0.
  • Se 0\le x\le 1: então \max(x,1)=1 e \min(e^{x},e)=e^{x} (pois e^{x}\le e). O intervalo em y é
y\in[1,e^{x}],
e isto é válido porque para x\ge0 temos e^{x}\ge1. Portanto x pode variar em [0,1] com essas linhas.
  • Se x\ge1: então \max(x,1)=x e \min(e^{x},e)=e (porque para x\ge1 tem e^{x}\ge e). O intervalo em y é
y\in[x,e].
Para que esse intervalo exista é preciso x\le e. Assim x varia em [1,e] nesse caso.
Concluímos que a projeção de R no eixo x é [0,e] e que é necessário dividir em dois trechos: x\in[0,1] e x\in[1,e], com limites em y dados acima.

Passo 4

Escrever a integral com ordem invertida. Pela análise do passo anterior, a integral original é equivalente à soma de duas integrais em que primeiro se integra em y:
\int_{1}^{e}\left[\int_{\ln(y)}^{y} f(x,y)\,dx\right]dy = \int_{x=0}^{1}\left[\int_{y=1}^{e^{x}} f(x,y)\,dy\right]dx + \int_{x=1}^{e}\left[\int_{y=x}^{e} f(x,y)\,dy\right]dx.
Explicando: para x\in[0,1] os valores de y vão de 1 até e^{x}; para x\in[1,e] os valores de y vão de x até e.

Passo 5

Agora calcular a área da região R. A área é a integral dupla de 1 sobre R. É mais simples calcular usando a ordem original (integrando em x primeiro): a “largura” em x para cada y é y-\ln(y). Portanto
\text{Área}(R)=\int_{y=1}^{e}\bigl(y-\ln(y)\bigr)\,dy.Á

Passo 6

Calcular a integral
\int_{1}^{e}\bigl(y-\ln(y)\bigr)\,dy = \int_{1}^{e} y\,dy \;-\; \int_{1}^{e}\ln(y)\,dy.
Calcular separadamente.
  1. A integral de y:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2},
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\int_{1}^{e} y\,dy=\left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{1}^{e}=\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}.
  1. A integral de \ln(y): usar integração por partes. Faça u=\ln(y) e dv=dy. Então du=\dfrac{1}{y}dy e v=y. A fórmula dá
\int \ln(y)\,dy = y\ln(y)-\int y\cdot\frac{1}{y}\,dy = y\ln(y)-\int 1\,dy = y\ln(y)-y.
Avaliando de 1 a e:
\int_{1}^{e}\ln(y)\,dy=\bigl[y\ln(y)-y\bigr]_{1}^{e}=(e\cdot 1-e)-\bigl(1\cdot 0-1\bigr)= (e-e)- (0-1)=1.
(Observação rápida: \int_{1}^{e}\ln y\,dy =1.)
  1. Substituindo:
\text{Área}(R)=\left(\frac{e^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right)-1=\frac{e^{2}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{e^{2}-3}{2}.Á

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln(y)}^{y} f(x,y)\,dx\right]dy = \int_{0}^{1}\left[\int_{1}^{e^{x}} f(x,y)\,dy\right]dx + \int_{1}^{e}\left[\int_{x}^{e} f(x,y)\,dy\right]dx
\text{Área}(R)=\displaystyle \frac{e^{2}-3}{2}Á

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