Exercício 19 Inverta a região de integração da integrais iteradas. Calcule a área das regiões de integração. \int_{1}^{e}\left[\int_{\ln (y)}^{y} f(x, y) d x\right] d y
inverter a ordem de integração (escrever a integral como \displaystyle \int_{x=\dots}^{\dots}\int_{y=\dots}^{\dots} f(x,y)\,dy\,dx, possivelmente com soma de integrais se for necessário);
calcular a área da região de integração.
Informações relevantes fornecidas:
a variável externa y varia em \displaystyle 1\le y\le e;
para cada y fixo, a variável x varia em \displaystyle \ln(y)\le x\le y.
Passo 2
Descrever a região R no plano (x,y) usando as desigualdades dadas. A partir da integral original temos
R=\{(x,y)\mid 1\le y\le e,\\ \ln(y)\le x\le y\}.
Isto significa que um ponto (x,y) pertence a R se satisfizer simultaneamente:
\displaystyle y\in[1,e],
\displaystyle x\ge \ln(y),
\displaystyle x\le y.
Estas três desigualdades podem ser reescritas, isolando y em função de x, para permitir inverter a ordem de integração.
Passo 3
Transformar as condições para obter os limites em y como função de x.
Das desigualdades \ln(y)\le x e x\le y obtemos, respectivamente,
y\le e^{x} \qquad\text{e}\qquad y\ge x.
Reunindo com 1\le y\le e, para um dado x válido precisamos ter
y\in[\max(x,1),\min(e^{x},e)].
Agora determinamos para quais valores de x esse intervalo não é vazio, ou seja, \max(x,1)\le\min(e^{x},e).
Analisar em pedaços por causa dos “máx” e “mín”:
Se x<0: então e^{x}<1, logo \min(e^{x},e)=e^{x}<1 e \max(x,1)=1, portanto 1>\!e^{x} e o intervalo está vazio. Logo não há x<0.
Se 0\le x\le 1: então \max(x,1)=1 e \min(e^{x},e)=e^{x} (pois e^{x}\le e). O intervalo em y é
y\in[1,e^{x}],
e isto é válido porque para x\ge0 temos e^{x}\ge1. Portanto x pode variar em [0,1] com essas linhas.
Se x\ge1: então \max(x,1)=x e \min(e^{x},e)=e (porque para x\ge1 tem e^{x}\ge e). O intervalo em y é
y\in[x,e].
Para que esse intervalo exista é preciso x\le e. Assim x varia em [1,e] nesse caso.
Concluímos que a projeção de R no eixo x é [0,e] e que é necessário dividir em dois trechos: x\in[0,1] e x\in[1,e], com limites em y dados acima.
Passo 4
Escrever a integral com ordem invertida. Pela análise do passo anterior, a integral original é equivalente à soma de duas integrais em que primeiro se integra em y:
Explicando: para x\in[0,1] os valores de y vão de 1 até e^{x}; para x\in[1,e] os valores de y vão de x até e.
Passo 5
Agora calcular a área da região R. A área é a integral dupla de 1 sobre R. É mais simples calcular usando a ordem original (integrando em x primeiro): a “largura” em x para cada y é y-\ln(y). Portanto