Exercício 18 (E.M.4.10)
Seja ( M, d ) um espaço métrico, x e y in M. Suponha que exista um subconjunto aberto e fechado em M tal que x in X e y in X^c. Mostre que nenhum subconjunto conexo de M pode conter x e y simultaneamente.

Passo 1

O enunciado considera um espaço métrico (M,d), pontos x,yin M e um subconjunto Xsubset M que é simultaneamente aberto e fechado em M, com xin X e ynotin X. Queremos mostrar que nenhum subconjunto de M que seja conexo pode conter ao mesmo tempo x e y. Para isso usaremos a definição de conectividade via separação em topologia de subespaço.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista um subconjunto Asubset M que seja conexo e contenha x e y. Vamos construir uma separação de A.

Passo 3

Definimos
U = A cap X e V = A cap X^c.
Como X é aberto em M, segue que U é aberto em A na topologia de subespaço. De modo análogo, X^c é aberto em M, logo V é aberto em A.

Passo 4

Observamos que xin X implica xin U, e ynotin X implica yin X^c logo yin V. Assim Uneqemptyset e Vneqemptyset.

Passo 5

Pelo modo de definição temos Ucap V=emptyset e Ucup V=A. Portanto U,V é uma separação de A, o que contradiz a hipótese de que A é conexo.

Resposta

Não existe subconjunto conexo de M que contenha simultaneamente x e y.

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