Exercício 18 (E.M.4.10)
Seja (
) um espaço métrico,
e
. Suponha que exista um subconjunto aberto e fechado em
tal que
e
. Mostre que nenhum subconjunto conexo de
pode conter
e
simultaneamente.
Seja (
Passo 1
O enunciado considera um espaço métrico
, pontos
e um subconjunto
que é simultaneamente aberto e fechado em
, com
e
. Queremos mostrar que nenhum subconjunto de
que seja conexo pode conter ao mesmo tempo
e
. Para isso usaremos a definição de conectividade via separação em topologia de subespaço.
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista um subconjunto
que seja conexo e contenha
e
. Vamos construir uma separação de
.
Passo 3
Definimos
e
.
Como é aberto em
, segue que
é aberto em
na topologia de subespaço. De modo análogo,
é aberto em
, logo
é aberto em
.
Como
Passo 4
Observamos que
implica
, e
implica
logo
. Assim
e
.
Passo 5
Pelo modo de definição temos
e
. Portanto
é uma separação de
, o que contradiz a hipótese de que
é conexo.
Resposta
Não existe subconjunto conexo de
que contenha simultaneamente
e
.