Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2 e que a medida do ângulo A \hat{B} C=\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}, calcule:
\langle\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}\rangle

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C,D são vértices de um losango de lado 2 e que o ângulo em B, isto é \angle ABC, vale \tfrac{2\pi}{3}. Queremos o produto escalar \langle\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\rangle. Vamos usar a definição de produto escalar em termos de módulo e cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

Para quaisquer vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, vale
\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|\;\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Aqui \|\overrightarrow{BA}\|=2 e \|\overrightarrow{BC}\|=2.

Passo 3

O ângulo entre \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC} é justamente \angle ABC=\tfrac{2\pi}{3}. Logo,
\langle\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\rangle =2\cdot 2\cdot \cos\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =4\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =-2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados