Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2 e que a medida do ângulo A \hat{B} C=\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}, calcule:
\langle\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{B C}\rangle

Passo 1

O enunciado diz que A,B,C,D são vértices de um losango de lado 2 e que \angle ABC = \tfrac{2\pi}{3}. Precisamos calcular o produto interno \langle \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{BC}\rangle. Vamos usar coordenadas para representar o losango como um paralelogramo e então aplicar a definição de produto interno.

Passo 2

Colocamos B na origem e C sobre o eixo x. Assim,
B = (0,0), \quad C = (2,0),
pois \lvert BC\rvert = 2. O ângulo em B entre \overrightarrow{BA} e \overrightarrow{BC} vale \tfrac{2\pi}{3}. Como \overrightarrow{BC} aponta para o eixo x positivo, a direção de \overrightarrow{BA} forma \tfrac{2\pi}{3} acima do eixo x. Logo,
A = 2\bigl(\cos\tfrac{2\pi}{3},\,\sin\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = \bigl(-1,\;\sqrt{3}\bigr).

Passo 3

Num losango (paralelogramo), vale a relação de diagonais
A + C = B + D,
então
D = A + C - B = \bigl(-1,\sqrt{3}\bigr) + (2,0) - (0,0) = (1,\sqrt{3}).

Passo 4

Agora calculamos os vetores envolvidos:
\overrightarrow{DA} = A - D = \bigl(-1,\sqrt{3}\bigr) - \bigl(1,\sqrt{3}\bigr) = (-2,0),
\overrightarrow{BC} = C - B = (2,0) - (0,0) = (2,0).
Pelo ensino do produto interno em \mathbb{R}^2,
\langle \overrightarrow{DA}, \overrightarrow{BC}\rangle = (-2)\cdot 2 + 0\cdot 0 = -4.

Resposta

-4

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