Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2 e que a medida do ângulo A \hat{B} C=\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}, calcule: \langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\rangle
Passo 1
O enunciado nos dá um losango ABCD de lados todos iguais a 2 e informa que o ângulo em B, isto é \angle ABC, vale \tfrac{2\pi}{3}. Queremos calcular o produto escalar \langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rangle. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar em termos de módulos e cosseno do ângulo entre os vetores.
Passo 2
Em qualquer polígono convexo, os ângulos internos opostos de um losango são iguais e os adjacentes são suplementares. Aqui \angle ABC=2\pi/3, logo o ângulo interno em A satisfaz
\angle BAD \;=\;\pi-\angle ABC \;=\;\pi-\frac{2\pi}{3} \;=\;\frac{\pi}{3}.
Passo 3
O produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD} é dado por