Exercício 19. Sabendo que os pontos A, B, C e D são os vértices de um losango cujo comprimento dos lados é 2 e que a medida do ângulo A \hat{B} C=\frac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}, calcule:
\langle\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}\rangle

Passo 1

O enunciado nos dá um losango ABCD de lados todos iguais a 2 e informa que o ângulo em B, isto é \angle ABC, vale \tfrac{2\pi}{3}. Queremos calcular o produto escalar \langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rangle. Para isso, vamos usar a definição de produto escalar em termos de módulos e cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 2

Em qualquer polígono convexo, os ângulos internos opostos de um losango são iguais e os adjacentes são suplementares. Aqui \angle ABC=2\pi/3, logo o ângulo interno em A satisfaz
\angle BAD \;=\;\pi-\angle ABC \;=\;\pi-\frac{2\pi}{3} \;=\;\frac{\pi}{3}.

Passo 3

O produto escalar entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AD} é dado por
\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rangle =|\overrightarrow{AB}|\;|\overrightarrow{AD}|\;\cos(\theta),
onde \theta é o ângulo entre esses vetores. No ponto A, esse ângulo é \angle BAD=\tfrac{\pi}{3}. Como ambos os módulos valem 2, temos
|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2.

Passo 4

Substituindo na fórmula do produto escalar:
\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rangle =2\cdot2\cdot\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =4\cdot\frac12 =2.

Resposta

2

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