Exercício 19. Seja X uma variável aleatória discreta com função de de distribuição dada por
F(x)=cc 0 & se x<0 1 / 2 & se 0 <= x<1 3 / 5 & se 1 <= x<2 4 / 5 & se 2 <= x<3 9 / 10 & se 3 <= x<4 1 & se x >= 4
Encontre:
(a) determine a função de probabilidade de X.
(b) determine a E(X) e Var(X)

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta pX(x)=P(X=x)=F(x)-limtto x^-F(t) e a função de distribuição acumulada E(X)=sumx x,pX(x) está “em degraus” em certos valores de Var(X)=El(X^2r)-[E(X)]^2, . A matéria que entra aqui é:
  • Como extrair a função de probabilidade (pmf) a partir de uma função de distribuição acumulada discreta.
  • Como calcular o valor esperado El(X^2r)=sumx x^2,pX(x) e a variância .
    Para resolver isso, a gente vai usar:
  1. A definição de pmf em termos dos saltos de :
  2. A definição de valor esperado:
  3. A definição de variância: em que

Passo 2

Vamos achar a pmf olhando nos pontos onde limtto0^-F(t)=0, F(0)=tfrac12 ;;Longrightarrow;;pX(0)=tfrac12-0=tfrac12 “sobe”:
  1. Em limtto1^-F(t)=tfrac12, F(1)=tfrac35 ;;Longrightarrow;;pX(1)=tfrac35-tfrac12=tfrac610-tfrac510=tfrac110 : limtto2^-F(t)=tfrac35, F(2)=tfrac45 ;;Longrightarrow;;pX(2)=tfrac45-tfrac35=tfrac4-35=tfrac15
  2. Em limtto3^-F(t)=tfrac45, F(3)=tfrac910 ;;Longrightarrow;;pX(3)=tfrac910-tfrac810=tfrac110 : limtto4^-F(t)=tfrac910, F(4)=1 ;;Longrightarrow;;pX(4)=1-tfrac910=tfrac110
  3. Em :
  4. Em :
  5. Em :
Confere que a soma .

Passo 3

Agora, o valor esperado:
Teoria: E(X) =0cdottfrac12 +1cdottfrac110 +2cdottfrac15 +3cdottfrac110 +4cdottfrac110 é a média ponderada dos valores que 0 + 0,1 + 2cdot0,2 + 3cdot0,1 + 4cdot0,1 =0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,4 =1,2 pode assumir, com pesos .
Cálculo:
Vamos somar:

Passo 4

Agora a variância:
  1. Primeiro E(X^2) =0^2!cdottfrac12 +1^2!cdottfrac110 +2^2!cdottfrac15 +3^2!cdottfrac110 +4^2!cdottfrac110 : 0 + 0,1 + 4cdot0,2 + 9cdot0,1 + 16cdot0,1 =0,1 + 0,8 + 0,9 + 1,6 =3,4 Calculando:

Resposta

(a) A função de probabilidade é
pX(x)= tfrac12,&x=0, tfrac110,&x=1, tfrac15,&x=2, tfrac110,&x=3, tfrac110,&x=4, 0,&caso contrário á
(b) e .

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