Exercício 19. Seja uma variável aleatória discreta com função de de distribuição dada por
Encontre:
(a) determine a função de probabilidade de X.
(b) determine a E(X) e Var(X)
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta pX(x)=P(X=x)=F(x)-limtto x^-F(t) e a função de distribuição acumulada E(X)=sumx x,pX(x) está “em degraus” em certos valores de Var(X)=El(X^2r)-[E(X)]^2, . A matéria que entra aqui é:
Como extrair a função de probabilidade (pmf) a partir de uma função de distribuição acumulada discreta.
Como calcular o valor esperado El(X^2r)=sumx x^2,pX(x) e a variância .
Para resolver isso, a gente vai usar:
A definição de pmf em termos dos saltos de :
A definição de valor esperado:
A definição de variância:em que
Passo 2
Vamos achar a pmf olhando nos pontos onde limtto0^-F(t)=0, F(0)=tfrac12 ;;Longrightarrow;;pX(0)=tfrac12-0=tfrac12 “sobe”:
Em limtto1^-F(t)=tfrac12, F(1)=tfrac35 ;;Longrightarrow;;pX(1)=tfrac35-tfrac12=tfrac610-tfrac510=tfrac110 : limtto2^-F(t)=tfrac35, F(2)=tfrac45 ;;Longrightarrow;;pX(2)=tfrac45-tfrac35=tfrac4-35=tfrac15
Em limtto3^-F(t)=tfrac45, F(3)=tfrac910 ;;Longrightarrow;;pX(3)=tfrac910-tfrac810=tfrac110 : limtto4^-F(t)=tfrac910, F(4)=1 ;;Longrightarrow;;pX(4)=1-tfrac910=tfrac110
Em :
Em :
Em :
Confere que a soma .
Passo 3
Agora, o valor esperado:
Teoria: E(X) =0cdottfrac12 +1cdottfrac110 +2cdottfrac15 +3cdottfrac110 +4cdottfrac110 é a média ponderada dos valores que 0 + 0,1 + 2cdot0,2 + 3cdot0,1 + 4cdot0,1 =0,1 + 0,4 + 0,3 + 0,4 =1,2 pode assumir, com pesos .
Cálculo: