Exercício 6.19. Seja
uma variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro
.
(a) Calcule
para
algum número fixo e positivo;
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a probabilidade $ P(X > \alpha) $ onde $ X $ é uma variável aleatória com distribuição exponencial e $ \lambda > 0 $. A matéria aqui é Probabilidade e Distribuições de Probabilidade, especificamente a distribuição exponencial. Vamos precisar entender a função de densidade de probabilidade dessa distribuição e como calcular probabilidades a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de densidade de probabilidade (PDF) da distribuição exponencial. A PDF é dada por:
Isso significa que a probabilidade de $ X $ assumir um valor específico $ x $ é proporcional a $ e^{-\lambda x} $.
Passo 3
Agora, queremos calcular $ P(X > \alpha) $, que é a probabilidade de $ X $ ser maior que um valor fixo $ \alpha $. Para isso, usamos a propriedade da distribuição exponencial que relaciona a função de distribuição acumulada (CDF) com a probabilidade que queremos.
A CDF é dada por:
Então, a probabilidade de $ X $ ser maior que $ \alpha $ é:
Isso mostra que a probabilidade decai exponencialmente conforme $ \alpha $ aumenta.
Resposta
A probabilidade $ P(X > \alpha) $ é igual a $ e^{-\lambda \alpha} $.