Suponha que o tempo de espera na fila de atendimento de um banco, em minutos, seja uma variável aleatória exponencial com parâmetro
. Determine o tempo médio de espera e a probabilidade de que você tenha aue esperar mais aue 10 min.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos que o tempo de espera na fila de atendimento de um banco é uma variável aleatória que segue uma distribuição exponencial com parâmetro
. Nosso objetivo é encontrar:
- O tempo médio de espera.
- A probabilidade de esperar mais que 10 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre distribuição exponencial e como calcular a média e probabilidades associadas a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distribuição exponencial. Essa distribuição é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é o atendimento no banco.
O parâmetro
na distribuição exponencial representa a taxa de ocorrência dos eventos. A média (ou tempo esperado) dessa distribuição é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo médio de espera usando a fórmula acima. Sabemos que
.
Então:
Portanto, o tempo médio de espera é de 10 minutos.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a probabilidade de esperar mais que 10 minutos. Para a distribuição exponencial, a probabilidade de que o tempo de espera
seja maior que um valor específico
é dada por:
Passo 5
Aplicando essa fórmula com
minutos e
:
Calculando o valor de
:
Isso significa que a probabilidade de esperar mais que 10 minutos é de aproximadamente 36,79%.
Resposta
O tempo médio de espera é de 10 minutos e a probabilidade de esperar mais que 10 minutos é de aproximadamente 36,79%.