Exercício 6.20. Admita que o tempo de espera (em minutos) numa fila de um banco seja modelado por uma variável aleatória X com distribuição exponencial com parâmetro lambda=1 / 10. Calcule
© Admita que você já esteja na fila há 10 minutos. Calcule a probabilidade de ter de esperar mais 15 minutos.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve o tempo de espera em uma fila de banco, modelado por uma variável aleatória X com distribuição exponencial e parâmetro lambda = 110. Precisamos calcular a probabilidade de, já estando na fila há 10 minutos, ter que esperar mais 15 minutos. Para isso, vamos usar a propriedade sem memória da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição exponencial ter a propriedade sem memória. Isso quer dizer que a probabilidade de precisar esperar mais um certo tempo não depende de quanto já esperamos. Matematicamente, isso é expresso como:
P(X > s + t mid X > s) = P(X > t)
onde s é o tempo já esperado e t é o tempo adicional que queremos calcular a probabilidade.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso problema, temos que s = 10 minutos e t = 15 minutos. Então:
P(X > 10 + 15 mid X > 10) = P(X > 15)
Isso simplifica nosso cálculo, pois agora precisamos apenas calcular P(X > 15).

Passo 4

A função de sobrevivência da distribuição exponencial é dada por:
P(X > t) = e^-lambda t
Substituindo lambda = 110 e t = 15:
P(X > 15) = e^-110 times 15 = e^-1,5

Passo 5

Calculando o valor numérico de e^-1,5:
e^-1,5 approx 0,22313

Resposta

A probabilidade de ter que esperar mais 15 minutos, já estando na fila há 10 minutos, é aproximadamente 22,31%.

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