Exercício 6.20. Admita que o tempo de espera (em minutos) numa fila de um banco seja modelado por uma variável aleatória
com distribuição exponencial com parâmetro
. Calcule
© Admita que você já esteja na fila há 10 minutos. Calcule a probabilidade de ter de esperar mais 15 minutos.
© Admita que você já esteja na fila há 10 minutos. Calcule a probabilidade de ter de esperar mais 15 minutos.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que envolve o tempo de espera em uma fila de banco, modelado por uma variável aleatória
com distribuição exponencial e parâmetro
. Precisamos calcular a probabilidade de, já estando na fila há 10 minutos, ter que esperar mais 15 minutos. Para isso, vamos usar a propriedade sem memória da distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a distribuição exponencial ter a propriedade sem memória. Isso quer dizer que a probabilidade de precisar esperar mais um certo tempo não depende de quanto já esperamos. Matematicamente, isso é expresso como:
onde
é o tempo já esperado e
é o tempo adicional que queremos calcular a probabilidade.
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao nosso problema, temos que
minutos e
minutos. Então:
Isso simplifica nosso cálculo, pois agora precisamos apenas calcular
.
Passo 4
A função de sobrevivência da distribuição exponencial é dada por:
Substituindo
e
:
Passo 5
Calculando o valor numérico de
:
Resposta
A probabilidade de ter que esperar mais 15 minutos, já estando na fila há 10 minutos, é aproximadamente 22,31%.