Exercício 6.19. Seja
uma variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro
.
(b) Prove que
é uma variável sem memória, isto é, verifique que
para quaisquer valores de
.
(b) Prove que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda > 0 $. O objetivo é mostrar que $ X $ não tem “memória”, ou seja, provar que:
Isso significa que a probabilidade de $ X $ ser maior que $ s + t $, dado que já sabemos que $ X $ é maior que $ t $, é a mesma que a probabilidade de $ X $ ser maior que apenas $ s $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição exponencial e a definição de probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a distribuição exponencial. A função de sobrevivência (a probabilidade de $ X $ ser maior que um certo valor $ x $) para uma distribuição exponencial é dada por:
Essa função nos diz a probabilidade de que o evento $ X $ não ocorra até o tempo $ x $.
Passo 3
Agora, vamos entender a probabilidade condicional $ P(X > s + t \mid X > t) $. Pela definição de probabilidade condicional, temos:
Mas se $ X > s + t $, então necessariamente $ X > t $. Portanto, a interseção $ P(X > s + t e X > t) $ é igual a $ P(X > s + t) $.
Passo 4
Substituindo isso na fórmula da probabilidade condicional, temos:
Agora, vamos usar a função de sobrevivência da distribuição exponencial que mencionamos no Passo 2.
Passo 5
Substituindo as funções de sobrevivência, temos:
Simplificando a expressão, os termos $ e^{-\lambda t} $ se cancelam.
Passo 6
Observamos que:
Isso mostra que:
Resposta
Mostramos que $ P(X > s + t \mid X > t) = P(X > s) $, comprovando que a variável aleatória $ X $ é sem memória.