Exercício 6.19. Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial com parâmetro lambda>0.
(b) Prove que X é uma variável sem memória, isto é, verifique que
P(X>s+t mid X>t)=P(X>s)
para quaisquer valores de s, t>0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda > 0 $. O objetivo é mostrar que $ X $ não tem “memória”, ou seja, provar que:
X
Isso significa que a probabilidade de $ X $ ser maior que $ s + t $, dado que já sabemos que $ X $ é maior que $ t $, é a mesma que a probabilidade de $ X $ ser maior que apenas $ s $. Para resolver isso, vamos usar as propriedades da distribuição exponencial e a definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a distribuição exponencial. A função de sobrevivência (a probabilidade de $ X $ ser maior que um certo valor $ x $) para uma distribuição exponencial é dada por:
X
Essa função nos diz a probabilidade de que o evento $ X $ não ocorra até o tempo $ x $.

Passo 3

Agora, vamos entender a probabilidade condicional $ P(X > s + t \mid X > t) $. Pela definição de probabilidade condicional, temos:
P(X > s + t mid X > t)
Mas se $ X > s + t $, então necessariamente $ X > t $. Portanto, a interseção $ P(X > s + t e X > t) $ é igual a $ P(X > s + t) $.

Passo 4

Substituindo isso na fórmula da probabilidade condicional, temos:
P(X > s + t mid X > t) = P(X > s + t)P(X > t)
Agora, vamos usar a função de sobrevivência da distribuição exponencial que mencionamos no Passo 2.

Passo 5

Substituindo as funções de sobrevivência, temos:
P(X > s + t mid X > t) = e^-lambda (s + t)e^-lambda t = e^-lambda s
Simplificando a expressão, os termos $ e^{-\lambda t} $ se cancelam.

Passo 6

Observamos que:
e^-lambda s = P(X > s)
Isso mostra que:
P(X > s + t mid X > t) = P(X > s)

Resposta

Mostramos que $ P(X > s + t \mid X > t) = P(X > s) $, comprovando que a variável aleatória $ X $ é sem memória.

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