Exercício 198. Seja f(x) \doteq\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } x<1 \\\\ -1 & \text { se } x \geq 1\end{array}\right.. Mostre que os limites laterias existem, por definiçāo, em x=1. Mostre também que o limite não existe, usando a definição por módulo.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)\doteq\begin{cases} 1 & \text{se } x<1,\\[4pt] -1 & \text{se } x\ge 1. \end{cases}
Pede duas coisas:
  • Mostrar que os limites laterais em x=1 existem, usando a definição (isto é, provar \lim_{x\to1^-}f(x)= algo e \lim_{x\to1^+}f(x)= algo por definição epsilon–delta).
  • Mostrar que o limite bilateral \lim_{x\to1}f(x) NÃO existe, usando a definição por módulo (a definição epsilon–delta do limite bilateral).]

Passo 2

Vou lembrar as definições (explicando as variáveis) para ficar tudo claro.
Definição do limite lateral à esquerda: dizemos que \lim_{x\to1^-}f(x)=L_- se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<1-x<\delta (ou seja, x está à esquerda de 1 e suficientemente próximo dela) vale
|f(x)-L_-|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon é a tolerância no valor de f e \delta é a tolerância na abscissa x.
Definição do limite lateral à direita: dizemos que \lim_{x\to1^+}f(x)=L_+ se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<x-1<\delta (ou seja, x está à direita de 1 e suficientemente próximo) vale
|f(x)-L_+|<\varepsilon.
Definição do limite bilateral: \lim_{x\to1}f(x)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, vale
|f(x)-L|<\varepsilon.
Vou aplicar essas definições ao nosso f.

Passo 3

Provar que \lim_{x\to1^-}f(x)=1 por definição.
Se x<1 então, pela definição da função, f(x)=1. Seja qualquer \varepsilon>0. Escolhe-se, por exemplo, \delta=1 (qualquer \delta>0 serve; não precisa depender de \varepsilon aqui). Se 0<1-x<\delta então x<1 e portanto f(x)=1. Assim
|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 (por exemplo \delta=1) satisfazendo a condição da definição; logo
\lim_{x\to1^-}f(x)=1.

Passo 4

Provar que \lim_{x\to1^+}f(x)=-1 por definição.
Se x>1 (ou x=1 mas na definição de limite lateral usamos pontos com x>1) então, pela definição da função, f(x)=-1. Seja qualquer \varepsilon>0. Novamente basta escolher \delta=1 (ou qualquer \delta>0). Se 0<x-1<\delta então x>1 e então f(x)=-1. Assim
|f(x)-(-1)|=|-1+1|=0<\varepsilon.
Portanto, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (por exemplo \delta=1) cumprindo a definição; logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=-1.

Passo 5

Mostrar que o limite bilateral \lim_{x\to1}f(x) não existe, usando a definição por módulo (epsilon–delta).
Suponha, por absurdo, que exista L\in\mathbb{R} tal que \lim_{x\to1}f(x)=L. Então, pela definição bilateral, para \varepsilon=\tfrac{1}{2} deve existir \delta>0 tal que sempre que 0<|x-1|<\delta temos
|f(x)-L|<\tfrac{1}{2}.
Mas para esse mesmo \delta podemos escolher dois pontos próximos de 1:
  • x_1=1-\tfrac{\delta}{2}. Então 0<|x_1-1|<\delta e, como x_1<1, temos f(x_1)=1. Assim |1-L|<\tfrac{1}{2}.
  • x_2=1+\tfrac{\delta}{2}. Então 0<|x_2-1|<\delta e, como x_2>1, temos f(x_2)=-1. Assim |-1-L|<\tfrac{1}{2}.
Portanto ambos os números |1-L| e |-1-L| são estritamente menores que \tfrac{1}{2}. Pela desigualdade triangular,
|1-(-1)| \le |1-L| + |L+1| < \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.
Mas o lado esquerdo é |2|=2, logo 2<1, contradição. Assim a suposição de existência de L é falsa.
Logo não existe L que satisfaça a definição bilateral, isto é, \lim_{x\to1}f(x) não existe.

Passo 6

Resumo final (intuição rápida): à esquerda de 1 a função vale sempre 1, então o limite pela esquerda é 1. À direita de 1 vale sempre -1, então o limite pela direita é -1. Como os dois limites laterais são diferentes, não existe limite bilateral; a prova epsilon–delta acima mostra rigorosamente essa impossibilidade.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=1
\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=-1
\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\\ \text{não existe}ã

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